मान लीजिए n एक निश्चित धनात्मक पूर्णांक है। प | vedclass

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Question

(D) $1$. स्वतुल्यता: प्रत्येक $a \in Z$ के लिए,$a - a = 0$ होता है। चूंकि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $n | 0$ सत्य है,इसलिए $aRa$ होता है। अतः

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उपरोक्त सभी $(a), (b),$ और $(c)$

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(D) $1$. स्वतुल्यता: प्रत्येक $a \in Z$ के लिए,$a - a = 0$ होता है। चूंकि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $n | 0$ सत्य है,इसलिए $aRa$ होता है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।$2$. सममितता: यदि $aRb$ है,तो $n | (a - b)$,जिसका अर्थ है कि किसी पूर्णांक $k$ के लिए $a - b = nk$ है। तब $b - a = -(a - b) = n(-k)$,जो दर्शाता है कि $n | (b - a)$ है। अतः,$bRa$ होता है,और $R$ सममित है।$3$. संक्रामकता: यदि $aRb$ और $bRc$ है,तो $n | (a - b)$ और $n | (b - c)$ होता है। इसका अर्थ है कि कुछ पूर्णांकों $k_1, k_2$ के लिए $a - b = nk_1$ और $b - c = nk_2$ है। इन समीकरणों को जोड़ने पर,$(a - b) + (b - c) = a - c = n(k_1 + k_2)$ प्राप्त होता है। चूंकि $n | (a - c)$ है,इसलिए $aRc$ होता है,और $R$ संक्रामक है।निष्कर्ष: चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक तीनों है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है। अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

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वास्तविक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए,$xRy$ यदि और केवल यदि $x - y + \sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है। तब $R$ है:

एक ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए जो सममित (Symmetric) और संक्रामक (Transitive) है लेकिन स्वतुल्य (Reflexive) नहीं है।

माना $r$ समुच्चय $N \times N$ पर संबंध $(a, b)r(c, d) \Rightarrow a + d = b + c$ द्वारा परिभाषित है,तब $r$ है:

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