ધારો કે ABCD એ 1 એકમ લંબાઈનો ચોરસ છે. A પર કે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(1,0)$,$C(1,1)$,અને $D(0,1)$ છે.વર્તુળ $C_{1}$ નું કેન્દ્ર $A(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $1$ છે,તેથી તેનું સમ

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(1,0)$,$C(1,1)$,અને $D(0,1)$ છે.વર્તુળ $C_{1}$ નું કેન્દ્ર $A(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $1$ છે,તેથી તેનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 1$ છે.ધારો કે વર્તુળ $C_{2}$ નું કેન્દ્ર $(r,r)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે કારણ કે તે $AD$ $(x=0)$ અને $AB$ $(y=0)$ ને સ્પર્શે છે.વર્તુળ $C_{2}$ એ $C_{1}$ ને બહારથી સ્પર્શતું હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય: $\sqrt{r^2 + r^2} = 1 + r$.$\sqrt{2}r = 1 + r \Rightarrow r(\sqrt{2}-1) = 1 \Rightarrow r = \sqrt{2}+1$. પરંતુ વર્તુળ ચોરસની અંદર હોવાથી $r = \sqrt{2}-1$ લેવું પડે.$C_{2}$ નું સમીકરણ $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ છે જ્યાં $r = \sqrt{2}-1$.બિંદુ $C(1,1)$ માંથી પસાર થતી $m$ ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ $y-1 = m(x-1)$ અથવા $mx - y + (1-m) = 0$ છે.આ રેખા $C_{2}$ ને સ્પર્શતી હોવાથી,$(r,r)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $r$ થાય:$\frac{|mr - r + 1 - m|}{\sqrt{m^2+1}} = r \Rightarrow |(m-1)(r-1) + 1| = r\sqrt{m^2+1}$.$r = \sqrt{2}-1$ મૂકતા,$r-1 = \sqrt{2}-2$.$|(m-1)(\sqrt{2}-2) + 1| = (\sqrt{2}-1)\sqrt{m^2+1}$.બંને બાજુ વર્ગ કરીને $m$ માટે ઉકેલતા $m = 2 \pm \sqrt{3}$ મળે છે.સ્પર્શક $AB$ ને $E$ માં મળે તે માટે $m = -(2+\sqrt{3})$ અથવા ભૂમિતિ મુજબ યોગ્ય કિંમત લેતા,$y-1 = m(x-1)$ માં $y=0$ મૂકતા $x = 1 - \frac{1}{m}$ મળે.$m = -(2+\sqrt{3})$ માટે,$x = 1 - \frac{1}{-(2+\sqrt{3})} = 3-\sqrt{3}$.$EB = 1 - x = 1 - (3-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-2$ (આ સ્વરૂપમાં નથી). બીજો સ્પર્શક લેતા $EB = 2-\sqrt{3}$ મળે.આમ $\alpha = 2, \beta = -1$. તેથી $\alpha+\beta = 2-1 = 1$.

Similar Questions

જો રેખા $x+3y=0$ એ $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ માટે $(0,0)$ બિંદુએ સ્પર્શક હોય,તો આવા એક વર્તુળનું કેન્દ્ર શોધો.

રેખાઓ $y - y_1 = m(x - x_1) \pm a \sqrt{1 + m^2}$ એ એક જ વર્તુળના સ્પર્શકો છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા કેટલી છે?

જો વર્તુળ $x^2+y^2+6x+6y=2$ પરના બિંદુ $P$ આગળ દોરેલો સ્પર્શક,$Y$-અક્ષ પરના બિંદુ $Q$ આગળ રેખા $5x-2y+6=0$ ને મળે છે,તો $PQ$ ની લંબાઈ શોધો.

પરવલય $(y - 2)^2 = 16(x - 1)$ ની નાભિ જીવા એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 14x - 4y + 51 = 0$ ને સ્પર્શક છે,તો નાભિ જીવાનો ઢાળ શું હોઈ શકે?

રેખા $3x + 4y = 25$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 25$ ને કયા બિંદુએ સ્પર્શે છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module