मान लीजिए $S = \{a, b, c\}$ और $T = \{1, 2, 3\}$ है। $S$ से $T$ तक निम्नलिखित फलन $F$ का $F^{-1}$ ज्ञात कीजिए,यदि यह अस्तित्व में है: $F = \{(a, 2), (b, 1), (c, 1)\}$.

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(D) दिया गया है कि $S = \{a, b, c\}$ और $T = \{1, 2, 3\}$ है।
फलन $F : S \rightarrow T$ को $F = \{(a, 2), (b, 1), (c, 1)\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
एक फलन व्युत्क्रमणीय (invertible) तभी होता है जब वह एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) दोनों हो।
यहाँ,$F(b) = 1$ और $F(c) = 1$ है। चूँकि $F(b) = F(c)$ है लेकिन $b \neq c$ है,इसलिए फलन $F$ एकैकी नहीं है।
चूँकि $F$ एकैकी नहीं है,इसलिए यह एक बाइजेक्शन (bijection) नहीं है।
अतः,$F$ व्युत्क्रमणीय नहीं है,जिसका अर्थ है कि $F^{-1}$ का अस्तित्व नहीं है।

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$a$ के कितने पूर्णांक मानों के लिए फलन $f: R \to R, f(x) = 2x^3 - 3(a + 2)x^2 + 12ax - 7$ जहाँ $a \in [-4, 6]$ व्युत्क्रमणीय (invertible) है?

निम्नलिखित में से कौन सा फलन व्युत्क्रमणीय (invertible) फलन है?

मान लीजिए कि $f: X \rightarrow Y$ एक व्युत्क्रमणीय फलन है। सिद्ध कीजिए कि $f$ का प्रतिलोम अद्वितीय है।
(संकेत: मान लीजिए कि $g_{1}$ और $g_{2}$ फलन $f$ के दो प्रतिलोम हैं। तब सभी $y \in Y$ के लिए,$f \circ g_{1}(y) = I_{Y}(y) = f \circ g_{2}(y)$। $f$ के एकैकी (one-one) गुण का उपयोग करें।)

मान लीजिए $f: N \to Y$ एक फलन है जिसे $f(x) = 4x + 3$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $Y = \{y \in N : y = 4x + 3, x \in N\}$ है। सिद्ध कीजिए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है और इसका प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $f$ और $g$ को $x \in R$ के लिए $f(x) = 3x - 4$ और $g(x) = 2 + 3x$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $g^{-1}(f^{-1}(5))$ का मान ज्ञात कीजिए।

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