मान लीजिए a_{n} धनात्मक पदों की एक गुणोत्तर श | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $a_n$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका सार्व अनुपात $r$ है। पद $a, ar, ar^2, \dots$ हैं।$\sum_{n=1}^{100} a_{2n+1} = a_3 + a_5 + \dots + a_{2

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$150$

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(D) मान लीजिए $a_n$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका सार्व अनुपात $r$ है। पद $a, ar, ar^2, \dots$ हैं।$\sum_{n=1}^{100} a_{2n+1} = a_3 + a_5 + \dots + a_{201} = ar^2 + ar^4 + \dots + ar^{200} = ar^2 \frac{(r^{200}-1)}{(r^2-1)} = 200$.$\sum_{n=1}^{100} a_{2n} = a_2 + a_4 + \dots + a_{200} = ar + ar^3 + \dots + ar^{199} = ar \frac{(r^{200}-1)}{(r^2-1)} = 100$.पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से विभाजित करने पर: $\frac{ar^2}{ar} = \frac{200}{100} \Rightarrow r = 2$.अब,$\sum_{n=1}^{200} a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{200} = a \frac{(r^{200}-1)}{(r-1)}$.दूसरे समीकरण से,$ar \frac{(r^{200}-1)}{(r^2-1)} = 100$। $r=2$ रखने पर,$2a \frac{(r^{200}-1)}{(2^2-1)} = 100 \Rightarrow 2a \frac{(r^{200}-1)}{3} = 100 \Rightarrow a \frac{(r^{200}-1)}{3} = 50 \Rightarrow a(r^{200}-1) = 150$.इस मान को योग के सूत्र में रखने पर: $\sum_{n=1}^{200} a_n = \frac{150}{2-1} = 150$।

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