मान लीजिए A, B और C ऐसे समुच्चय हैं कि phi ne | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $\phi 
e A \cap B \subseteq C$ है।
विकल्प (A) की जाँच करें: यदि $(A - C) \subseteq B$ तो $A \subseteq B$ है।
मान लीजिए $A = \{1,

Vedclass · Accepted Answer

यदि $(A - C) \subseteq B$ तो $A \subseteq B$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $\phi 
e A \cap B \subseteq C$ है।
विकल्प (A) की जाँच करें: यदि $(A - C) \subseteq B$ तो $A \subseteq B$ है।
मान लीजिए $A = \{1, 2\},\ B = \{2, 3\},\ C = \{2\}$ है।
यहाँ $A \cap B = \{2\} 
e \phi$ और $A \cap B = \{2\} \subseteq C = \{2\}$ है।
अब,
$A - C = \{1, 2\} - \{2\} = \{1\}$ है।
चूँकि $\{1\} 
ot\subseteq B = \{2, 3\}$, इसलिए शर्त $(A - C) \subseteq B$ इस उदाहरण के लिए गलत है।
यदि हम $A = \{1, 2\},\ B = \{1, 3\},\ C = \{1, 2\}$ लें, तो
$A \cap B = \{1\} \subseteq C$ होता है।
यहाँ $A - C = \phi \subseteq B$ सत्य है, लेकिन $A = \{1, 2\} 
ot\subseteq B = \{1, 3\}$ है।
अतः, कथन (A) सत्य नहीं है।
विकल्प (B) की जाँच करें: यदि $(A - B) \subseteq C$ तो $A \subseteq C$ है।
मान लीजिए $x \in A$ है। यदि $x \in B$ है, तो $x \in A \cap B$ है। चूँकि $A \cap B \subseteq C$ है, इसलिए $x \in C$ है।
यदि $x 
otin B$ है, तो $x \in A - B$ है। चूँकि $A - B \subseteq C$ है, इसलिए $x \in C$ है।
अतः $A \subseteq C$ है। यह कथन सत्य है।
विकल्प (C) की जाँच करें:
$(C \cup A) \cap (C \cup B) = C \cup (A \cap B)$ है।
चूँकि $A \cap B \subseteq C$ है, इसलिए $C \cup (A \cap B) = C$ है। यह कथन सत्य है।
विकल्प (D) की जाँच करें: चूँकि $A \cap B \subseteq C$ और $A \cap B 
e \phi$ है, इसलिए कम से कम एक अवयव $x \in A \cap B$ मौजूद है।
इससे $x \in B$ और $x \in C$ होता है, इसलिए $x \in B \cap C$ है।
अतः $B \cap C 
e \phi$ है। यह कथन सत्य है।
अतः, जो कथन सत्य नहीं है वह (A) है।

मान लीजिए $A, B$ और $C$ ऐसे समुच्चय हैं कि $\phi \ne A \cap B \subseteq C$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य नहीं है?

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