मान लीजिए f : S rightarrow S जहाँ S =(0, inft | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x+1) = xf(x)$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln f(x+1) = \ln(x f(x))$।$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ग

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$\frac{205}{144}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x+1) = xf(x)$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln f(x+1) = \ln(x f(x))$।$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\ln f(x+1) = \ln x + \ln f(x)$।चूंकि $g(x) = \ln f(x)$,यह समीकरण $g(x+1) = \ln x + g(x)$ या $g(x+1) - g(x) = \ln x$ बन जाता है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर,$g''(x+1) - g''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(\ln x) = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।अब,इस संबंध में $x = 1, 2, 3, 4$ रखने पर:$x=1$ के लिए: $g''(2) - g''(1) = -\frac{1}{1^2}$$x=2$ के लिए: $g''(3) - g''(2) = -\frac{1}{2^2}$$x=3$ के लिए: $g''(4) - g''(3) = -\frac{1}{3^2}$$x=4$ के लिए: $g''(5) - g''(4) = -\frac{1}{4^2}$इन चार समीकरणों को जोड़ने पर,मध्यवर्ती पद कट जाते हैं:$g''(5) - g''(1) = -\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2}\right) = -\left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16}\right)$।योग की गणना करने पर: $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} = \frac{144 + 36 + 16 + 9}{144} = \frac{205}{144}$।अतः,$|g''(5) - g''(1)| = \frac{205}{144}$।

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यदि $y=\frac{2}{\sqrt{a^2-b^2}} \tan ^{-1}\left[\sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \tan \frac{x}{2}\right]$ है,तो $\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=$

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यदि $f(x)=\frac{x-1}{e^x}$ है, तो $f^{\prime}(0)+f^{\prime \prime}(0)=$

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