मान लीजिए C_{1} अवकल समीकरण 2xy frac{dy}{dx} | vedclass

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Question

(B) वक्र $C_{1}$ के लिए: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2} - x^{2}}{2xy}$.$y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।$v + x\frac

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$\frac{\pi}{2} - 1$

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(B) वक्र $C_{1}$ के लिए: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2} - x^{2}}{2xy}$.$y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v^{2} - 1}{2v} \Rightarrow x\frac{dv}{dx} = \frac{-(v^{2} + 1)}{2v}$.चरों को अलग करने पर: $\frac{2v}{v^{2} + 1} dv = -\frac{dx}{x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln(v^{2} + 1) = -\ln x + C$.$\ln(\frac{x^{2} + y^{2}}{x}) = C$. $(1, 1)$ से गुजरने पर,$C = \ln 2$.अतः,$x^{2} + y^{2} - 2x = 0$ (केंद्र $(1, 0)$ और त्रिज्या $1$ वाला वृत्त)।वक्र $C_{2}$ के लिए: $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^{2} - y^{2}}$.इसी प्रकार हल करने पर $x^{2} + y^{2} - 2y = 0$ (केंद्र $(0, 1)$ और त्रिज्या $1$ वाला वृत्त) प्राप्त होता है।इन दो वृत्तों द्वारा घिरा क्षेत्रफल $2 \int_{0}^{1} (\sqrt{1 - (x-1)^{2}} - x) dx = \frac{\pi}{2} - 1$ है।

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