मान लीजिए g(x) = int_{0}^{x} f(t) dt,जहाँ f अ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि सभी $t \in [0, 1]$ के लिए $\frac{1}{3} \leq f(t) \leq 1$ और सभी $t \in (1, 3]$ के लिए $0 \leq f(t) \leq \frac{1}{2}$ है।हमें $g(3)

Vedclass · Accepted Answer

$[\frac{1}{3}, 2]$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि सभी $t \in [0, 1]$ के लिए $\frac{1}{3} \leq f(t) \leq 1$ और सभी $t \in (1, 3]$ के लिए $0 \leq f(t) \leq \frac{1}{2}$ है।हमें $g(3) = \int_{0}^{3} f(t) dt$ का परिसर ज्ञात करना है।हम समाकलन को $g(3) = \int_{0}^{1} f(t) dt + \int_{1}^{3} f(t) dt$ के रूप में विभाजित कर सकते हैं।पहले भाग के लिए,$\int_{0}^{1} \frac{1}{3} dt \leq \int_{0}^{1} f(t) dt \leq \int_{0}^{1} 1 dt$,जो $\frac{1}{3} \leq \int_{0}^{1} f(t) dt \leq 1$ देता है।दूसरे भाग के लिए,$\int_{1}^{3} 0 dt \leq \int_{1}^{3} f(t) dt \leq \int_{1}^{3} \frac{1}{2} dt$,जो $0 \leq \int_{1}^{3} f(t) dt \leq \frac{1}{2} 	imes (3 - 1) = 1$ देता है।इन दो असमिकाओं को जोड़ने पर,हमें $\frac{1}{3} + 0 \leq g(3) \leq 1 + 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{1}{3} \leq g(3) \leq 2$ हो जाता है।अतः,अंतराल $[\frac{1}{3}, 2]$ है।

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समाकल $\int_{-2}^0 (x^3 + 3x^2 + 3x + 5 + (x + 1) \cos(x + 1)) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_{1/2}^{2} \frac{1}{x} \sin \left( x - \frac{1}{x} \right) dx = $

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