मान लीजिए $f(x)$ अंतराल $[0,2]$ पर परिभाषित एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in (0,2)$ के लिए $f^{\prime}(x) = f^{\prime}(2-x)$,$f(0) = 1$ और $f(2) = e^{2}$ है। तो $\int_{0}^{2} f(x) dx$ का मान ..... है।

$\int_{-1}^{3} \left( \tan^{-1} \left( \frac{x}{x^2+1} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{x^2+1}{x} \right) \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकल $\int_{-1/2}^{1/2} (\sin^{-1}(3x - 4x^3) - \cos^{-1}(4x^3 - 3x)) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: [2, 5] \to [2, 5]$ एक बाइजेक्टिव फलन है,इस प्रकार कि $\frac{d}{dx}(f^{-1}(x)) > 0$ सभी $x \in [2, 5]$ के लिए,तो $\int_{2}^{5} (f(x) + f^{-1}(x)) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि समाकलन $\int_{0}^{10} \frac{[\sin 2 \pi x ]}{ e ^{ x -[ x ]}} dx =\alpha e ^{-1}+\beta e ^{-\frac{1}{2}}+\gamma$ है,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma$ पूर्णांक हैं और $[ x ]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से कम या उसके बराबर है,तो $\alpha+\beta+\gamma$ का मान ........ है।

$\int_0^1 (2x^3 - 3x^2 - x + 1)^{\frac{1}{3}} dx$ का मान किसके बराबर है?