मान लीजिए A = {1, 2, 3, ldots, 10} और f: A ri | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(k) = \begin{cases} k+1, & 	ext{यदि } k 	ext{ विषम है} \ k, & 	ext{यदि } k 	ext{ सम है} \end{cases}$।हमें शर्त $g(f(k)) = f(k)$

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$10^{5}$

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(A) दिया गया है $f(k) = \begin{cases} k+1, & 	ext{यदि } k 	ext{ विषम है} \ k, & 	ext{यदि } k 	ext{ सम है} \end{cases}$।हमें शर्त $g(f(k)) = f(k)$ सभी $k \in A$ के लिए दी गई है।यदि $k$ सम है,तो $f(k) = k$। अतः,$g(f(k)) = g(k) = f(k) = k$। इसलिए,सभी सम $k \in \{2, 4, 6, 8, 10\}$ के लिए $g(k) = k$ होगा।यदि $k$ विषम है,तो $f(k) = k+1$। अतः,$g(f(k)) = g(k+1) = f(k) = k+1$। चूंकि $k+1$ हमेशा एक सम संख्या है,यह पुष्टि करता है कि $g$ सम संख्याओं को स्वयं से ही प्रतिचित्रित करता है,जिसे हमने पहले ही स्थापित कर लिया है।विषम $k \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$ के लिए,शर्त $g(f(k)) = f(k)$ का $g(k)$ के मान पर कोई प्रतिबंध नहीं है।चूंकि $g: A ightarrow A$,प्रत्येक $5$ विषम मानों के लिए,$g(k)$ समुच्चय $A$ के $10$ तत्वों में से कोई भी हो सकता है।इसलिए,ऐसे फलनों $g$ की कुल संख्या $10 	imes 10 	imes 10 	imes 10 	imes 10 = 10^{5}$ है।

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यदि $e^{f(x)}=\frac{10+x}{10-x}, x \in(-10,10)$ और $f(x)=k f\left(\frac{200 x}{100+x^2}\right)$ है, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \frac{2^x}{2^x + \sqrt{2}}$,$x \in R$ है,तो $\sum_{k=1}^{81} f\left(\frac{k}{82}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $A = \{1, 2, 3, 4\}$ और $B = \{1, 4, 9, 16\}$ है। तो $1 \in f(A)$ वाले अनेक-एक (many-one) फलनों $f: A \rightarrow B$ की संख्या ज्ञात कीजिए:

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