माना f:[0,2] rightarrow R एक फलन है जो f(x)=( | vedclass

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Question

(B) माना $	heta = \pi x - \frac{\pi}{4}$। चूंकि $x \in [0, 2]$,$	heta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}]$।तब $2\pi x = 2	heta + \frac{\pi}{2}$,इस

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$1$

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(B) माना $	heta = \pi x - \frac{\pi}{4}$। चूंकि $x \in [0, 2]$,$	heta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}]$।तब $2\pi x = 2	heta + \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\sin(2\pi x) = \cos(2	heta)$।साथ ही $3\pi x + \frac{\pi}{4} = 3(	heta + \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} = 3	heta + \pi$,इसलिए $\sin(3\pi x + \frac{\pi}{4}) = \sin(3	heta + \pi) = -\sin(3	heta)$।असमिका $f(x) \geq 0$ का रूप $(3 - \cos(2	heta)) \sin 	heta - (-\sin(3	heta)) \geq 0$ हो जाता है।$(3 - (1 - 2\sin^2 	heta)) \sin 	heta + \sin(3	heta) \geq 0$।$(2 + 2\sin^2 	heta) \sin 	heta + (3\sin 	heta - 4\sin^3 	heta) \geq 0$।$2\sin 	heta + 2\sin^3 	heta + 3\sin 	heta - 4\sin^3 	heta \geq 0$।$5\sin 	heta - 2\sin^3 	heta \geq 0 \Rightarrow \sin 	heta (5 - 2\sin^2 	heta) \geq 0$।चूंकि सभी $	heta$ के लिए $5 - 2\sin^2 	heta > 0$,इसलिए $\sin 	heta \geq 0$ होना चाहिए।अतः,$	heta \in [0, \pi]$।$0 \leq \pi x - \frac{\pi}{4} \leq \pi$ $\Rightarrow \frac{\pi}{4} \leq \pi x \leq \frac{5\pi}{4}$ $\Rightarrow x \in [\frac{1}{4}, \frac{5}{4}]$।इसलिए,$\alpha = \frac{1}{4}$ और $\beta = \frac{5}{4}$,अतः $\beta - \alpha = 1$।

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