ધારો કે $f:[0,2] \rightarrow R$ એ $f(x)=(3-\sin(2\pi x)) \sin(\pi x-\frac{\pi}{4})-\sin(3\pi x+\frac{\pi}{4})$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે. જો $\alpha, \beta \in[0,2]$ એવા હોય કે જેથી $\{x \in[0,2]: f(x) \geq 0\}=[\alpha, \beta]$ થાય,તો $\beta-\alpha$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ ત્રણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. ધારો કે $f(x) = \alpha x^5 + \beta x^3 + \gamma x, x \in \mathbb{R}$ અને $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ એવા છે કે જેથી તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $g(f(x)) = x$ થાય. જો $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય અને તેમનો મધ્યક શૂન્ય હોય,તો $f(g(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(a_i)))$ ની કિંમત કેટલી થાય?

જો $e^{f(x)}=\frac{10+x}{10-x}, x \in(-10,10)$ અને $f(x)=k f\left(\frac{200 x}{100+x^2}\right)$ હોય, તો $k$ ની કિંમત શોધો.

જો $X$ અને $Y$ બે અરિક્ત ગણ હોય જ્યાં $f: X \to Y$ એવું વિધેય છે કે જેથી $C \subseteq X$ માટે $f(C) = \{f(x) : x \in C\}$ અને $D \subseteq Y$ માટે $f^{-1}(D) = \{x : f(x) \in D\}$ વ્યાખ્યાયિત છે,તો કોઈપણ $A \subseteq X$ અને $B \subseteq Y$ માટે,નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?

જો $f(x) = 4x^3 + 3x^2 + 3x + 4$ હોય,તો $x^3 f\left( \frac{1}{x} \right)$ શું થાય?

જો $f : R \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} x + 4, & x < -4 \\ 3x + 2, & -4 \leq x < 4 \\ x - 4, & x \geq 4 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય, તો List-$I$ નું List-$II$ સાથેનું સાચું જોડાણ કયું છે?
List-$I$
$(A) f(-5) + f(-4)$
$(B) f(|f(-8)|)$
$(C) f(f(-7) + f(3))$
$(D) f(f(f(f(0)))) + 1$
List-$II$
$(i) 14$
$(ii) 4$
$(iii) -11$
$(iv) -1$
$(v) 1$
$(vi) 0$