मान लीजिए कि [t],t से छोटा या उसके बराबर महत् | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = x - [x]$ और $g(x) = 1 - (x - [x])$। मान लीजिए ${x} = x - [x]$। तो $f(x) = {x}$ और $g(x) = 1 - {x}$।$h(x) = \min \{ {x}, 1 - {x

Vedclass · Accepted Answer

$[-2, 2]$ में सतत है लेकिन $(-2, 2)$ में चार से अधिक बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = x - [x]$ और $g(x) = 1 - (x - [x])$। मान लीजिए ${x} = x - [x]$। तो $f(x) = {x}$ और $g(x) = 1 - {x}$।$h(x) = \min \{ {x}, 1 - {x} \}$।प्रत्येक अंतराल $[n, n+1)$ के लिए,${x} = x - n$। अतः $h(x) = \min \{ x-n, 1-x+n \}$।$f(x)$ और $g(x)$ के ग्राफ तब प्रतिच्छेद करते हैं जब ${x} = 1 - {x}$,जिसका अर्थ है $2{x} = 1$,या ${x} = 0.5$।प्रत्येक अंतराल $[n, n+1)$ में,फलन $h(x)$ $0$ से $0.5$ तक बढ़ता है और फिर $0.5$ से $0$ तक घटता है।चूंकि $h(x)$ हर जगह सतत है और ग्राफ $x = n$ (जहाँ ${x}=0$) और $x = n + 0.5$ (जहाँ ${x}=0.5$) पर नुकीले कोने दिखाता है,इसलिए हम $(-2, 2)$ में उन बिंदुओं की गणना करते हैं जहाँ फलन अवकलनीय नहीं है।ये बिंदु $x = -1.5, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5$ हैं। ऐसे कुल $7$ बिंदु हैं।चूंकि $7 > 4$,विकल्प $A$ सही है।

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$f$ के सभी असातत्य (discontinuity) के बिंदु ज्ञात कीजिए,जहाँ $f$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$

फलन $f(x)=\frac{\tan \{\pi[x-\frac{\pi}{2}]\}}{2+[x]^{2}}$, जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ को दर्शाता है, है

यदि $f(x) = \frac{1 - \sin x + \cos x}{1 + \sin x + \cos x}$,$x \neq \pi$ के लिए $x = \pi$ पर सतत है,तो $f(\pi)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} x \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ है,तो $x = 0$ पर फलन $f(x)$

वे मान $p$ और $q$ जिनके लिए फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(p+1)x + \sin x}{x} & x < 0 \\ q & x = 0 \\ \frac{\sqrt{x+x^2} - \sqrt{x}}{x^{3/2}} & x > 0 \end{cases}$ $\forall x \in R$ के लिए सतत है,हैं

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