माना P(x, y) परवलय y = 4x^2 + 1 पर एक चर बिंद | vedclass

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Question

(C) माना $P = (x, y)$ परवलय $y = 4x^2 + 1$ पर एक बिंदु है। रेखा $PQ$,$y = x$ के लंबवत है,अतः इसकी ढाल $-1$ है। रेखा $PQ$ का समीकरण $X + Y = x + y$ है।

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$2(3x - y)^2 + (x - 3y) + 2 = 0$

Vedclass · Answer

(C) माना $P = (x, y)$ परवलय $y = 4x^2 + 1$ पर एक बिंदु है। रेखा $PQ$,$y = x$ के लंबवत है,अतः इसकी ढाल $-1$ है। रेखा $PQ$ का समीकरण $X + Y = x + y$ है। चूंकि $Q(c, c)$,$PQ$ और $y = x$ पर स्थित है,इसलिए $c = \frac{x + y}{2}$। $Q = (\frac{x + y}{2}, \frac{x + y}{2})$। $R(h, k)$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,अतः $h = \frac{3x + y}{4}$ और $k = \frac{x + 3y}{4}$। हल करने पर $x = \frac{3h - k}{2}$ और $y = \frac{3k - h}{2}$ प्राप्त होता है। $y = 4x^2 + 1$ में मान रखने पर: $\frac{3k - h}{2} = 4(\frac{3h - k}{2})^2 + 1$। $3k - h = 2(3h - k)^2 + 2$। $2(3h - k)^2 + (h - 3k) + 2 = 0$। अतः,अभीष्ट बिंदुपथ $2(3x - y)^2 + (x - 3y) + 2 = 0$ है।

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एक परवलय का समीकरण जो सरल रेखा $x + y = 0$ और वृत्त $x^2 + y^2 + 4y = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से होकर गुजरता है,वह है:

परवलय जिसकी नाभि $\left( \frac{u^2}{2g} \sin 2\alpha, -\frac{u^2}{2g} \cos 2\alpha \right)$ और नियता $y = \frac{u^2}{2g}$ है,के नाभिलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

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$x$ में द्विघात समीकरण $(k^2 - 15k + 27)x^2 + 9(k-1)x + 18 = 0$ का एक मूल दूसरे का दोगुना है। तो परवलय $y^2 = 6kx$ के नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई क्या होगी?

परवलय $y^2 = 4x$ के अंतर्गत बने त्रिभुज के शीर्षों के $y-$ निर्देशांक $1, 2$ और $4$ हैं,तो उसका क्षेत्रफल क्या होगा?

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