माना n in N और [x],x से कम या उसके बराबर महत् | vedclass

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Question

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_{r+1} = (2r+1) \cdot {}^{n}C_{r}$ है,जहाँ $r = 0, 1, 2, \ldots, n$ है।योग $S = \sum_{r=0}^{n} (2r+1) \cdot {}^{n}C_{r}$ द्

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$98$

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(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_{r+1} = (2r+1) \cdot {}^{n}C_{r}$ है,जहाँ $r = 0, 1, 2, \ldots, n$ है।योग $S = \sum_{r=0}^{n} (2r+1) \cdot {}^{n}C_{r}$ द्वारा दिया गया है।$S = 2 \sum_{r=0}^{n} r \cdot {}^{n}C_{r} + \sum_{r=0}^{n} {}^{n}C_{r}$।सर्वसमिकाओं $\sum r \cdot {}^{n}C_{r} = n \cdot 2^{n-1}$ और $\sum {}^{n}C_{r} = 2^{n}$ का उपयोग करने पर:$S = 2(n \cdot 2^{n-1}) + 2^{n} = n \cdot 2^{n} + 2^{n} = 2^{n}(n+1)$।दिया गया है $S = 2^{100} \cdot 101$,इसलिए $2^{n}(n+1) = 2^{100} \cdot 101$,जिसका अर्थ है $n = 100$।अब,$2\left[\frac{n-1}{2}\right] = 2\left[\frac{100-1}{2}\right] = 2\left[\frac{99}{2}\right] = 2[49.5] = 2 \cdot 49 = 98$।

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यदि $1^2 \cdot \binom{15}{1} + 2^2 \cdot \binom{15}{2} + 3^2 \cdot \binom{15}{3} + \ldots + 15^2 \cdot \binom{15}{15} = 2^m \cdot 3^n \cdot 5^k$, जहाँ $m, n, k \in N$, तो $m + n + k$ का मान है:

यदि $26 \left( \frac{2}{3} \binom{12}{2} + \frac{2}{5} \binom{12}{4} + \frac{2}{7} \binom{12}{6} + \dots + \frac{2}{13} \binom{12}{12} \right) = 3^{13} - \alpha$ है, तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

श्रेणी $\frac{1}{1 \times 2} {}^{25}C_{0} + \frac{1}{2 \times 3} {}^{25}C_{1} + \frac{1}{3 \times 4} {}^{25}C_{2} + \ldots + \frac{1}{26 \times 27} {}^{25}C_{25}$ का योग है

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यदि $(1+x)^n=C_0+C_1 x+C_2 x^2+\ldots+C_n x^n$ है,तो $C_0+2 C_1+3 C_2+\ldots+(n+1) C_n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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