मान लीजिए $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ एक एकैकी (injective) सतत फलन है जो शर्त $-1 < f(0) < f(1) < 1$ को संतुष्ट करता है। तो,ऐसे फलनों $g:[-1,1] \rightarrow [0,1]$ की संख्या क्या होगी ताकि सभी $x \in [0,1]$ के लिए $(g \circ f)(x) = x$ हो?

मान लीजिए कि फलन $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \frac{\sin x}{e^{\pi x}} \frac{(x^{2023} + 2024x + 2025)}{(x^2 - x + 3)} + \frac{2}{e^{\pi x}} \frac{(x^{2023} + 2024x + 2025)}{(x^2 - x + 3)}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो $R$ में $f(x) = 0$ के हलों की संख्या क्या है?

माना $f:[0,2] \rightarrow R$ एक फलन है जो $f(x)=(3-\sin(2\pi x)) \sin(\pi x-\frac{\pi}{4})-\sin(3\pi x+\frac{\pi}{4})$ द्वारा परिभाषित है। यदि $\alpha, \beta \in[0,2]$ इस प्रकार हैं कि $\{x \in[0,2]: f(x) \geq 0\}=[\alpha, \beta]$,तो $\beta-\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f : \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R}$,$f(x) = (\log(\sec x + \tan x))^3$ द्वारा परिभाषित है। तो:

फलन $f: X \to Y$ जहाँ $X = \{0, 1, 2\}$ और $Y = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ है, के लिए ऐसे अचर न होने वाले फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए $i < j$ होने पर $f(i) \leq f(j)$ हो।

माना $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ और $X$,$S$ से $S$ तक के उन सभी संबंधों $R$ का समुच्चय है जो निम्नलिखित दोनों शर्तों को संतुष्ट करते हैं:
$i$. $R$ में ठीक $6$ अवयव हैं।
$ii$. प्रत्येक $(a, b) \in R$ के लिए,$|a-b| \geq 2$ है।
माना $Y = \{R \in X : R \text{ का परिसर ठीक एक अवयव रखता है}\}$ और $Z = \{R \in X : R, S \text{ से } S \text{ तक एक फलन है}\}$।
माना $n(A)$,समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या को दर्शाता है।
$(1)$ यदि $n(X) = {}^{m}C_{6}$ है,तो $m$ का मान . . . . है।
$(2)$ यदि $n(Y) + n(Z)$ का मान $k^{2}$ है,तो $|k|$ का मान . . . . है।