मान लीजिए a और b दो धनात्मक वास्तविक संख्याएँ | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $a, b > 0$ और $a+2b \leq 1$ है। वृत्त $C_1$ की त्रिज्या $ab^3$ और वृत्त $C_2$ की त्रिज्या $b^2$ है। क्षेत्रफल $A_1 = \pi(ab^3)^2 = \pi

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{64}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $a, b > 0$ और $a+2b \leq 1$ है। वृत्त $C_1$ की त्रिज्या $ab^3$ और वृत्त $C_2$ की त्रिज्या $b^2$ है। क्षेत्रफल $A_1 = \pi(ab^3)^2 = \pi a^2b^6$ है। क्षेत्रफल $A_2 = \pi(b^2)^2 = \pi b^4$ है। अतः,$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi a^2b^6}{\pi b^4} = a^2b^2 = (ab)^2$ है। $a$ और $2b$ के लिए $AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करने पर: $\frac{a+2b}{2} \geq \sqrt{a \cdot 2b} = \sqrt{2ab}$ है। चूंकि $a+2b \leq 1$ है,इसलिए $\frac{1}{2} \geq \sqrt{2ab}$ है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{4} \geq 2ab$,जिसका अर्थ है $ab \leq \frac{1}{8}$ है। इसलिए,$(ab)^2 \leq (\frac{1}{8})^2 = \frac{1}{64}$ है। $\frac{A_1}{A_2}$ का अधिकतम मान $\frac{1}{64}$ है।

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