मान लीजिए S_1 उन वर्गों के क्षेत्रफलों का योग | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए सबसे बड़े वर्ग की भुजा $a$ है। निर्देशांक अक्षों के समानांतर भुजाओं वाले वर्गों की भुजाओं की लंबाई $a, \frac{a}{2}, \frac{a}{4}, \dots$

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$2$

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(A) मान लीजिए सबसे बड़े वर्ग की भुजा $a$ है। निर्देशांक अक्षों के समानांतर भुजाओं वाले वर्गों की भुजाओं की लंबाई $a, \frac{a}{2}, \frac{a}{4}, \dots$ है। उनके क्षेत्रफलों का योग $S_1 = a^2 + (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{4})^2 + \dots = a^2 + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{16} + \dots$ है। यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $A = a^2$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{4}$ है। अतः,$S_1 = \frac{a^2}{1 - 1/4} = \frac{a^2}{3/4} = \frac{4a^2}{3}$. तिरछे वर्गों की भुजाओं की लंबाई $\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{2\sqrt{2}}, \frac{a}{4\sqrt{2}}, \dots$ है। उनके क्षेत्रफलों का योग $S_2 = (\frac{a}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{a}{2\sqrt{2}})^2 + (\frac{a}{4\sqrt{2}})^2 + \dots = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{8} + \frac{a^2}{32} + \dots$ है। यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $A = \frac{a^2}{2}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{4}$ है। अतः,$S_2 = \frac{a^2/2}{1 - 1/4} = \frac{a^2/2}{3/4} = \frac{a^2}{2} 	imes \frac{4}{3} = \frac{2a^2}{3}$. इसलिए,$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4a^2/3}{2a^2/3} = 2$. सही विकल्प $A$ है।

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