मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण (3y^2-5x^2)y dx | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(3y^2-5x^2)y dx + 2x(x^2-y^2) dy = 0$ है।इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{y(5x^2-3y^2)}{2x(x^2-y^2)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।य

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$32\sqrt{2}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $(3y^2-5x^2)y dx + 2x(x^2-y^2) dy = 0$ है।इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{y(5x^2-3y^2)}{2x(x^2-y^2)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है,अतः $y=mx$ प्रतिस्थापित करने पर $\frac{dy}{dx} = m + x\frac{dm}{dx}$ प्राप्त होता है।समीकरण में मान रखने पर: $m + x\frac{dm}{dx} = \frac{m(5-3m^2)}{2(1-m^2)}$।सरल करने पर: $x\frac{dm}{dx} = \frac{m(3-m^2)}{2(1-m^2)}$।चरों को पृथक करने पर: $\frac{dx}{x} = \frac{2(1-m^2)}{m(3-m^2)} dm$।आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{dx}{x} = (\frac{2}{3m} + \frac{4m}{3(m^2-3)}) dm$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|x| = \frac{2}{3}\ln|m| + \frac{2}{3}\ln|m^2-3| + C$।$y(1)=1$ के लिए $m=1$ और $x=1$ रखने पर,$C = -\frac{2}{3}\ln(2)$ प्राप्त होता है।अतः,$x^{3/2} = \frac{1}{2} |m(m^2-3)|$ प्राप्त होता है।$x=2$ के लिए गणना करने पर,अंतिम उत्तर $|y^3-12y| = 32\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(3y^2-5x^2)y dx + 2x(x^2-y^2) dy = 0$ का हल है,जहाँ $y(1)=1$ है। तो $|(y(2))^3-12y(2)|$ का मान ज्ञात कीजिए।

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