ધારો કે alpha x = exp(x^beta y^gamma) એ વિકલ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2x^2 y \frac{dy}{dx} - 1 + xy^2 = 0$.ધારો કે $y^2 = t$. તેથી $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$.આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2x^2 y \frac{dy}{dx} - 1 + xy^2 = 0$.ધારો કે $y^2 = t$. તેથી $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$.આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 \frac{dt}{dx} + xt = 1$.$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે: $\frac{dt}{dx} + \frac{1}{x} t = \frac{1}{x^2}$.સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$.ઉકેલ $t \cdot x = \int \frac{1}{x^2} \cdot x dx + C = \int \frac{1}{x} dx + C = \ln x + C$ છે.$t = y^2$ મૂકતા,$xy^2 = \ln x + C$ મળે.આપેલ છે કે $y(2) = \sqrt{\ln 2}$,તેથી $y^2(2) = \ln 2$. $x=2$ અને $y^2=\ln 2$ મૂકતા: $2(\ln 2) = \ln 2 + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = \ln 2$.આમ,$xy^2 = \ln x + \ln 2 = \ln(2x)$.બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $e^{xy^2} = 2x$,અથવા $2x = \exp(x^1 y^2)$.આને $\alpha x = \exp(x^\beta y^\gamma)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2$,$\beta = 1$,અને $\gamma = 2$ મળે છે.તેથી,$\alpha + \beta - \gamma = 2 + 1 - 2 = 1$.

ધારો કે $\alpha x = \exp(x^\beta y^\gamma)$ એ વિકલ સમીકરણ $2x^2 y \frac{dy}{dx} - (1 - xy^2) = 0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $x > 0$ અને $y(2) = \sqrt{\log_e 2}$ છે. તો $\alpha + \beta - \gamma$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

નીચેના વિકલ સમીકરણને ઉકેલો: $\left(x^2+1\right) \frac{dy}{dx} + 4xy = \frac{1}{x^2+1}$

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx}+y \cos x=4x, x \in(0, \pi)$ નો ઉકેલ છે. જો $y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module