मान लीजिए [t] महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता | vedclass

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Question

(A) हम $[x^2]$ के मानों के आधार पर अंतराल को विभाजित करके समाकलन $\int_0^{2.4} [x^2] dx$ का मूल्यांकन करते हैं।$\int_0^{2.4} [x^2] dx = \int_0^1 [x^2]

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(A) हम $[x^2]$ के मानों के आधार पर अंतराल को विभाजित करके समाकलन $\int_0^{2.4} [x^2] dx$ का मूल्यांकन करते हैं।$\int_0^{2.4} [x^2] dx = \int_0^1 [x^2] dx + \int_1^{\sqrt{2}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{3}}^2 [x^2] dx + \int_2^{\sqrt{5}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{5}}^{2.4} [x^2] dx$$= \int_0^1 0 dx + \int_1^{\sqrt{2}} 1 dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx + \int_{\sqrt{3}}^2 3 dx + \int_2^{\sqrt{5}} 4 dx + \int_{\sqrt{5}}^{2.4} 5 dx$$= 0 + (\sqrt{2} - 1) + 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 3(2 - \sqrt{3}) + 4(\sqrt{5} - 2) + 5(2.4 - \sqrt{5})$$= \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3} + 4\sqrt{5} - 8 + 12 - 5\sqrt{5}$$= ( -1 + 6 - 8 + 12 ) + (1 - 2)\sqrt{2} + (2 - 3)\sqrt{3} + (4 - 5)\sqrt{5}$$= 9 - \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5}$इसकी तुलना $\alpha + \beta \sqrt{2} + \gamma \sqrt{3} + \delta \sqrt{5}$ से करने पर,हमें $\alpha = 9$,$\beta = -1$,$\gamma = -1$,और $\delta = -1$ प्राप्त होता है।अतः,$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 9 - 1 - 1 - 1 = 6$.

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$\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}} {\left( {\frac{1}{2}{{(3\sin \theta )}^2} - \frac{1}{2}{{(1 + \sin \theta )}^2}} \right)\,d\theta } $

निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_0^{\pi /2} \cos^2 x \, dx$

$b > 3$ का वह मान जिसके लिए $12 \int \limits_{3}^{b} \frac{1}{(x^{2}-1)(x^{2}-4)} dx = \log _{e}(\frac{49}{40})$ है,बराबर है

$\int_0^{2\pi} e^{x/2} \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \, dx = $

माना $f:(2, \infty) \rightarrow \mathbb{N}$,$f(x) = [x]$ का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड द्वारा परिभाषित है। तो,$\int_{2}^{8} f(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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