माना g(x) = f(x) + f(1-x) और x in (0, 1) के ल | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $g(x) = f(x) + f(1-x)$.अवकलन करने पर,$g'(x) = f'(x) - f'(1-x)$.चूंकि $g$ अंतराल $(0, \alpha)$ में ह्रासमान है और $(\alpha, 1)$ में वर्

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$\pi$

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(B) दिया गया है $g(x) = f(x) + f(1-x)$.अवकलन करने पर,$g'(x) = f'(x) - f'(1-x)$.चूंकि $g$ अंतराल $(0, \alpha)$ में ह्रासमान है और $(\alpha, 1)$ में वर्धमान है,इसलिए $x = \alpha$ पर $g'(x) = 0$ होगा।अतः,$f'(\alpha) = f'(1-\alpha)$.चूंकि $f''(x) > 0$,$f'(x)$ एक वर्धमान फलन है।इसलिए,$f'(\alpha) = f'(1-\alpha)$ का अर्थ है $\alpha = 1-\alpha$,जिससे $\alpha = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।अब,$\alpha = \frac{1}{2}$ पर $	an^{-1}(2\alpha) + 	an^{-1}\left(\frac{1}{\alpha}ight) + 	an^{-1}\left(\frac{\alpha+1}{\alpha}ight)$ का मान ज्ञात करते हैं।$\alpha = \frac{1}{2}$ रखने पर:$	an^{-1}(2 \cdot \frac{1}{2}) + 	an^{-1}\left(\frac{1}{1/2}ight) + 	an^{-1}\left(\frac{1/2+1}{1/2}ight)$$= 	an^{-1}(1) + 	an^{-1}(2) + 	an^{-1}(3)$.हम जानते हैं कि $	an^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.$	an^{-1}(2) + 	an^{-1}(3)$ के लिए,चूंकि $2 \cdot 3 > 1$,हम सूत्र $	an^{-1}(x) + 	an^{-1}(y) = \pi + 	an^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}ight)$ का उपयोग करते हैं।$	an^{-1}(2) + 	an^{-1}(3) = \pi + 	an^{-1}\left(\frac{2+3}{1-6}ight) = \pi + 	an^{-1}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.अतः,कुल योग $\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \pi$ है।

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