मान लीजिए S = {z in mathbb{C} - {i, 2i} : fra | vedclass

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Question

(A) दिया गया व्यंजक $f(z) = \frac{z^2 + 8iz - 15}{z^2 - 3iz - 2} \in \mathbb{R}$ है।बहुपद विभाजन करने पर: $f(z) = 1 + \frac{11iz - 13}{z^2 - 3iz - 2}$

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$1680$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया व्यंजक $f(z) = \frac{z^2 + 8iz - 15}{z^2 - 3iz - 2} \in \mathbb{R}$ है।बहुपद विभाजन करने पर: $f(z) = 1 + \frac{11iz - 13}{z^2 - 3iz - 2}$ प्राप्त होता है।$f(z)$ के वास्तविक होने के लिए,व्यंजक का काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए।माना $z = \alpha - \frac{13}{11}i$ है,जहाँ $x = \alpha$ और $y = -\frac{13}{11}$ है।हर $D = z^2 - 3iz - 2 = (x^2 - y^2 + 3y - 2) + i(2xy - 3x)$ है।अंश $N = 11iz - 13 = (-11y - 13) + i(11x)$ है।$\frac{N}{D} \in \mathbb{R}$ के लिए,$	ext{Re}(N)	ext{Im}(D) = 	ext{Im}(N)	ext{Re}(D)$ होना चाहिए।चूंकि $y = -\frac{13}{11}$ है,इसलिए $	ext{Re}(N) = 0$ है।अतः,$	ext{Re}(D) = x^2 - y^2 + 3y - 2 = 0$ लेने पर:$\alpha^2 = y^2 - 3y + 2 = (y-1)(y-2)$ प्राप्त होता है।$y = -\frac{13}{11}$ रखने पर:$\alpha^2 = (-\frac{24}{11})(-\frac{35}{11}) = \frac{840}{121}$ प्राप्त होता है।अतः,$242\alpha^2 = 242 	imes \frac{840}{121} = 1680$ है।

स्तंभ-$I$	स्तंभ-$II$
$(A)$ $\|z-i\|z\|\|=\|z+i\|z\|\|$ को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं $z$ का समुच्चय किसमें निहित है या उसके बराबर है	$(p)$ $\frac{4}{5}$ उत्केंद्रता वाला दीर्घवृत्त
$(B)$ $\|z+4\|+\|z-4\|=10$ को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं $z$ का समुच्चय किसमें निहित है या उसके बराबर है	$(q)$ $\operatorname{Im} z=0$ को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं $z$ का समुच्चय
$(C)$ यदि $\|\omega\|=2$ है,तो $z=\omega-1/\omega$ बिंदुओं का समुच्चय किसमें निहित है या उसके बराबर है	$(r)$ $\|\operatorname{Im} z\| \leq 1$ को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं $z$ का समुच्चय
$(D)$ यदि $\|\omega\|=1$ है,तो $z=\omega+1/\omega$ बिंदुओं का समुच्चय किसमें निहित है या उसके बराबर है	$(s)$ $\|\operatorname{Re} z\| \leq 1$ को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं $z$ का समुच्चय
	$(t)$ $\|z\| \leq 3$ को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं $z$ का समुच्चय

मान लीजिए $S = \{z \in \mathbb{C} - \{i, 2i\} : \frac{z^2 + 8iz - 15}{z^2 - 3iz - 2} \in \mathbb{R} \}$ है। यदि $\alpha - \frac{13}{11}i \in S$ और $\alpha \in \mathbb{R} - \{0\}$ है,तो $242\alpha^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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