मान लीजिए कि f: left[-frac{pi}{2}, frac{pi}{2 | vedclass

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Question

(B) हमें सीमा $\alpha = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \int_0^x f(t) dt}{e^{x^2}-1}$ दी गई है।हम इस व्यंजक को $\alpha = \lim _{x \rightarrow 0} \frac

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$2$

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(B) हमें सीमा $\alpha = \lim _{x ightarrow 0} \frac{x \int_0^x f(t) dt}{e^{x^2}-1}$ दी गई है।हम इस व्यंजक को $\alpha = \lim _{x ightarrow 0} \frac{\int_0^x f(t) dt}{x} \cdot \frac{x^2}{e^{x^2}-1}$ के रूप में लिख सकते हैं।चूँकि $\lim _{x ightarrow 0} \frac{e^{x^2}-1}{x^2} = 1$,इसलिए $\lim _{x ightarrow 0} \frac{x^2}{e^{x^2}-1} = 1$ होगा।अब,पहले भाग $\lim _{x ightarrow 0} \frac{\int_0^x f(t) dt}{x}$ (जो $\frac{0}{0}$ रूप में है) पर एल-हॉस्पिटल नियम लागू करने पर:$\lim _{x ightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} \int_0^x f(t) dt}{\frac{d}{dx} x} = \lim _{x ightarrow 0} \frac{f(x)}{1} = f(0)$.चूँकि $f(0) = \frac{1}{2}$ दिया गया है,हमें $\alpha = \frac{1}{2} 	imes 1 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।अंत में,$8 \alpha^2 = 8 	imes \left(\frac{1}{2}ight)^2 = 8 	imes \frac{1}{4} = 2$ होगा।

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$x = k$ ($k$ एक पूर्णांक है) पर $f(x) = \{x\} \sin(\pi x)$ का बायां अवकलज क्या है? (जहाँ $\{ \}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है)।

एक फलन $f$ जो सभी $x$ के लिए $f'( \sin x ) = \cos^2 x$ और $f(1) = 1$ को संतुष्ट करता है,वह है :

यदि $y = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!}$ है,तो $\frac{dy}{dx} = $

यदि $y = \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{x} - x}{1 + x^{3/2}} \right)$ है,तो $y'(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x)$ एक द्विघात बहुपद है। यदि $f(1) = f(-1)$ और $p, q, r$ समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में हैं, तो $f^{\prime}(p), f^{\prime}(q), f^{\prime}(r)$ हैं

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