ધારો કે f એ અંતરાલ (0, infty) માં વિકલનીય વિધ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$. $t$ ની સાપેક્ષમાં $L$'$H$ôpital નો નિયમ વાપરતા:$\lim _{t \rightarrow x} \fra

Vedclass · Accepted Answer

$24$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$. $t$ ની સાપેક્ષમાં $L$'$H$ôpital નો નિયમ વાપરતા:$\lim _{t \rightarrow x} \frac{2t f(x)-x^2 f'(t)}{1}=1$$2x f(x)-x^2 f'(x)=1$$f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = -\frac{1}{x^2}$આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{2}{x}$ અને $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$.સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$.ઉકેલ $f(x) \cdot \frac{1}{x^2} = \int -\frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} dx + C = \int -x^{-4} dx + C = \frac{1}{3x^3} + C$.$f(x) = \frac{1}{3x} + Cx^2$.$f(1) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 = \frac{1}{3} + C$,તેથી $C = \frac{2}{3}$.આમ,$f(x) = \frac{1}{3x} + \frac{2x^2}{3} = \frac{1+2x^3}{3x}$.$f(2) = \frac{1+2(8)}{3(2)} = \frac{17}{6}$.$f(3) = \frac{1+2(27)}{3(3)} = \frac{55}{9}$.$2f(2) + 3f(3) = 2(\frac{17}{6}) + 3(\frac{55}{9}) = \frac{17}{3} + \frac{55}{3} = \frac{72}{3} = 24$.

Similar Questions

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\sec x \frac{dy}{dx} - 2y = 2 + 3 \sin x$ નો ઉકેલ છે, જ્યાં $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ અને $y(0) = -\frac{7}{4}$ છે. તો $y(\frac{\pi}{6})$ ની કિંમત શોધો:

જો $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$,$0 < x < \frac{\pi}{2}$ અને $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ હોય,તો $y(x)$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(x + 3y^3) \frac{dy}{dx} = y$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો,જ્યાં $y > 0$.

વિકલ સમીકરણ $(1+y^2) dx = (\tan^{-1} y - x) dy$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

$\frac{dx}{dy} + P_{1}x = Q_{1}$ પ્રકારના વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module