मान लीजिए f अंतराल (0, infty) में एक अवकलनीय | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$। $t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम लागू करने पर:$\lim _{t \rightarrow x} \fr

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(B) दिया गया है $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$। $t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम लागू करने पर:$\lim _{t \rightarrow x} \frac{2t f(x)-x^2 f'(t)}{1}=1$$2x f(x)-x^2 f'(x)=1$$f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = -\frac{1}{x^2}$यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2}{x}$ और $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$ है।समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$।हल $f(x) \cdot \frac{1}{x^2} = \int -\frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} dx + C = \int -x^{-4} dx + C = \frac{1}{3x^3} + C$ है।$f(x) = \frac{1}{3x} + Cx^2$।$f(1) = 1$ दिया गया है,इसलिए $1 = \frac{1}{3} + C$,जिससे $C = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।अतः,$f(x) = \frac{1}{3x} + \frac{2x^2}{3} = \frac{1+2x^3}{3x}$।$f(2) = \frac{1+2(8)}{3(2)} = \frac{17}{6}$।$f(3) = \frac{1+2(27)}{3(3)} = \frac{55}{9}$।$2f(2) + 3f(3) = 2(\frac{17}{6}) + 3(\frac{55}{9}) = \frac{17}{3} + \frac{55}{3} = \frac{72}{3} = 24$।

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