मान लीजिए vec{a}=2 hat{i}+alpha hat{j}+hat{k} | vedclass

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Question

(D) विकर्णों $\vec{d}_1$ और $\vec{d}_2$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $	ext{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d}_1 	imes \vec{d}_2|$ द्वारा दिया जाता है

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$19$

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(D) विकर्णों $\vec{d}_1$ और $\vec{d}_2$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $	ext{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d}_1 	imes \vec{d}_2|$ द्वारा दिया जाता है।यहाँ विकर्ण $\vec{d}_1 = \vec{a}+\vec{b} = \hat{i} + \alpha\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{d}_2 = \vec{b}+\vec{c} = -\hat{i} + \beta\hat{j}$ हैं।सदिश गुणनफल $\vec{d}_1 	imes \vec{d}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & \alpha & 2 \ -1 & \beta & 0 \end{vmatrix} = -2\beta\hat{i} - 2\hat{j} + (\alpha+\beta)\hat{k}$ है।क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \sqrt{4\beta^2 + 4 + (\alpha+\beta)^2} = \frac{\sqrt{21}}{2}$ है।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4\beta^2 + 4 + \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta = 21$ प्राप्त होता है।$\alpha\beta = -6$ दिया गया है,अतः: $\alpha^2 + 5\beta^2 + 2(-6) + 4 = 21 \implies \alpha^2 + 5\beta^2 = 29$।पूर्णांक हल के लिए: यदि $\beta=2, \alpha=-3$ तो $9 + 20 = 29$ और यदि $\beta=-2, \alpha=3$ तो $9 + 20 = 29$।अतः $(\alpha_1, \beta_1) = (-3, 2)$ और $(\alpha_2, \beta_2) = (3, -2)$ लेने पर।$\alpha_1^2 + \beta_1^2 - \alpha_2\beta_2 = 9 + 4 - (3)(-2) = 9 + 4 + 6 = 19$।

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