मान लीजिए f: R rightarrow (0, infty) और g: R | vedclass

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Question

(A,D) दिया गया है $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x) g(x)}{f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)} = 1$। चूँकि $f^{\prime}(2) = 0$ और $g(2) = 0$,यह $\frac{0}{0}$

Vedclass · Accepted Answer

$f$ का $x=2$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है

Vedclass · Answer

(A,D) दिया गया है $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x) g(x)}{f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)} = 1$। चूँकि $f^{\prime}(2) = 0$ और $g(2) = 0$,यह $\frac{0}{0}$ रूप है। एल'हॉपिटल नियम का उपयोग करने पर:$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{f^{\prime}(x) g(x) + f(x) g^{\prime}(x)}{f^{\prime \prime}(x) g^{\prime}(x) + f^{\prime}(x) g^{\prime \prime}(x)} = 1$.$x=2$ रखने पर और $f^{\prime}(2) = g(2) = 0$ का उपयोग करने पर:$\frac{0 + f(2) g^{\prime}(2)}{f^{\prime \prime}(2) g^{\prime}(2) + 0} = 1 \implies \frac{f(2)}{f^{\prime \prime}(2)} = 1 \implies f(2) = f^{\prime \prime}(2)$.चूँकि $f: R \rightarrow (0, \infty)$,$f(2) > 0$,इसलिए $f^{\prime \prime}(2) > 0$ है। द्वितीय अवकलज परीक्षण के अनुसार,$f$ का $x=2$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है (विकल्प $A$)।$h(x) = f(x) - f^{\prime \prime}(x)$ लें। चूँकि $f(2) = f^{\prime \prime}(2)$,इसलिए $h(2) = 0$ है। अतः,कम से कम $x=2$ के लिए $f(x) - f^{\prime \prime}(x) = 0$ है (विकल्प $D$)।अतः,$A$ और $D$ दोनों सही हैं।

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यदि $f(x)=x^2+g^{\prime}(1) x+g^{\prime \prime}(2)$ और $g(x)=f(1) x^2+x f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)$ है,तो $f(4)-g(4)$ का मान $...........$ के बराबर है।

यदि एक फलन $f$ इस प्रकार परिभाषित है:
$\begin{cases} f(x) = x-1, & \text{जब } -\infty < x < 1 \\ f(x) = 0, & \text{जब } x=1 \\ f(x) = x^3-1, & \text{जब } 1 < x < \infty \end{cases}$
तो $x=1$ पर,$f$ है:

$f(x)$ एक अवकलनीय फलन है और $f^{\prime}(2)=6$ तथा $f^{\prime}(1)=4$ दिया गया है, तो $L=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(2+2 h+h^2\right)-f(2)}{f\left(1+h-h^2\right)-f(1)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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