ધારો કે $a$ અને $b$ બે શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. જો $(ax^2 + \frac{70}{27bx})^4$ ના વિસ્તરણમાં $x^5$ નો સહગુણક એ $(ax - \frac{1}{bx^2})^7$ ના વિસ્તરણમાં $x^{-5}$ ના સહગુણક જેટલો હોય,તો $2b$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $s_1 = \sum_{j=1}^{10} j(j-1) \binom{10}{j}$,$s_2 = \sum_{j=1}^{10} j \binom{10}{j}$,અને $s_3 = \sum_{j=1}^{10} j^2 \binom{10}{j}$.
વિધાન $-1$: $s_3 = 55 \times 2^9$
વિધાન $-2$: $s_1 = 90 \times 2^8$ અને $s_2 = 10 \times 2^8$

જો $n$ એ બેકી ધન પૂર્ણાંક હોય, તો $(a+x)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં મહત્તમ પદનો સહગુણક પણ મહત્તમ હોય તે માટેની શરત છે:

ધારો કે $(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}})^{n}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં,$\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ ની વધતી જતી ઘાતમાં,શરૂઆતથી પાંચમું પદ અને અંતથી પાંચમા પદનો ગુણોત્તર $\sqrt[4]{6}: 1$ છે. જો શરૂઆતથી છઠ્ઠું પદ $\frac{\alpha}{\sqrt[4]{3}}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત $.......$ છે.

ધન પૂર્ણાંક $k$ ની સંખ્યા શોધો કે જેથી $\left(2x^3 + \frac{3}{x^k}\right)^{12}, x \neq 0$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં અચળ પદ $2^8 \cdot \ell$ હોય,જ્યાં $\ell$ એક એકી પૂર્ણાંક છે.

જો $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[4]{x^{-3}}+a \sqrt[4]{x^5}}{x-1}=-2$ હોય,તો $(\sqrt[4]{x^{-3}}+a \sqrt[4]{x^5})^4$ ના વિસ્તરણમાં $x$ નો સહગુણક શોધો.