ધારો કે p, q પૂર્ણાંકો છે અને alpha, beta એ સ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B, D) $(1)$ Since $\alpha$ and $\beta$ are roots of $x^2-x-1=0$,we have $\alpha^2 = \alpha+1$ and $\beta^2 = \beta+1$.Multiplying by $\alpha^{n-2}$ a

Vedclass · Accepted Answer

$A, D$

Vedclass · Answer

(B, D) $(1)$ Since $\alpha$ and $\beta$ are roots of $x^2-x-1=0$,we have $\alpha^2 = \alpha+1$ and $\beta^2 = \beta+1$.Multiplying by $\alpha^{n-2}$ and $\beta^{n-2}$ respectively: $\alpha^n = \alpha^{n-1} + \alpha^{n-2}$ and $\beta^n = \beta^{n-1} + \beta^{n-2}$.Multiplying by $p$ and $q$ and adding: $p\alpha^n + q\beta^n = (p\alpha^{n-1} + q\beta^{n-1}) + (p\alpha^{n-2} + q\beta^{n-2})$.Thus,$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$. For $n=12$,$a_{12} = a_{11} + a_{10}$. Option $B$ is correct.$(2)$ We have $a_0 = p+q$,$a_1 = p\alpha + q\beta$,$a_2 = p\alpha^2 + q\beta^2 = p(\alpha+1) + q(\beta+1) = a_1 + a_0$,$a_3 = a_2 + a_1 = 2a_1 + a_0$,$a_4 = a_3 + a_2 = 3a_1 + 2a_0$.Given $a_4 = 3(p\alpha + q\beta) + 2(p+q) = 28$.Since $\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ and $\beta = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$,$3p(\frac{1+\sqrt{5}}{2}) + 3q(\frac{1-\sqrt{5}}{2}) + 2p + 2q = 28$.$\frac{3p+3p\sqrt{5}+3q-3q\sqrt{5}}{2} + 2p + 2q = 28$.$(3.5p + 3.5q) + \frac{3\sqrt{5}}{2}(p-q) = 28$.Since $28$ is rational,$p-q=0 \Rightarrow p=q$.$7p = 28 \Rightarrow p=4, q=4$.Then $p+2q = 4 + 2(4) = 12$. Option $D$ is correct.

Column-$I$	Column-$II$
$A$. $\alpha+\beta+\gamma$	$(1)$ $-\frac{43}{4}$
$B$. $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$	$(2)$ $-\frac{7}{8}$
$C$. $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}$	$(3)$ $86$
$D$. $\frac{\alpha}{\beta\gamma}+\frac{\beta}{\gamma\alpha}+\frac{\gamma}{\alpha\beta}$	$(4)$ $0$
	$(5)$ $10$

Similar Questions

ધારો કે $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $x^{2}-6x-2=0$ ના બીજ છે જ્યાં $\alpha>\beta$. જો $n \geq 1$ માટે $a_{n}=\alpha^{n}-\beta^{n}$ હોય, તો $\frac{a_{10}-2a_{8}}{2a_{9}}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\alpha_1, \alpha_2$ એ $x^2+ax+1=0$ ના બીજ હોય અને $\alpha_3, \alpha_4$ એ $x^2+bx+1=0$ ના બીજ હોય,તો $(\alpha_1+\alpha_3)(\alpha_2+\alpha_3)(\alpha_1+\alpha_4)(\alpha_2+\alpha_4) = $

જો $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x^3-12x^2+kx-18=0$ ના બીજ હોય અને તેમાંથી એક બીજ બાકીના બે બીજના સરવાળા કરતાં ત્રણ ગણું હોય,તો $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-k=$

જે પૂર્ણાંક $k$ માટે સમીકરણ $x^3-27x+k=0$ ને ઓછામાં ઓછા બે ભિન્ન પૂર્ણાંક બીજ હોય,તેવા $k$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module