मान लीजिए f अंतराल (-1, 1) पर परिभाषित एक वास | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $e^{-x} f(x) = 2 + \int_0^x \sqrt{t^4 + 1} \, dt \dots (i)$$x = 0$ पर,$e^0 f(0) = 2 + \int_0^0 \sqrt{t^4 + 1} \, dt \implies f(0) = 2$

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(B) दिया गया है $e^{-x} f(x) = 2 + \int_0^x \sqrt{t^4 + 1} \, dt \dots (i)$$x = 0$ पर,$e^0 f(0) = 2 + \int_0^0 \sqrt{t^4 + 1} \, dt \implies f(0) = 2$.चूंकि $f(0) = 2$,इसलिए $f^{-1}(2) = 0$ होगा।हम जानते हैं कि $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$।$y = 2$ के लिए,$(f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(f^{-1}(2))} = \frac{1}{f'(0)}$।समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$-e^{-x} f(x) + e^{-x} f'(x) = \sqrt{x^4 + 1}$।$x = 0$ रखने पर:$-e^0 f(0) + e^0 f'(0) = \sqrt{0^4 + 1}$$-1(2) + 1(f'(0)) = 1$$-2 + f'(0) = 1 \implies f'(0) = 3$।अतः,$(f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{3}$।

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