मान लीजिए $f:[-1, 2] \rightarrow [0, \infty)$ एक सतत फलन है ताकि सभी $x \in [-1, 2]$ के लिए $f(x) = f(1-x)$ हो। मान लीजिए $R_1 = \int_{-1}^2 x f(x) dx$,और $R_2$ वह क्षेत्रफल है जो $y = f(x)$,$x = -1$,$x = 2$,और $x$-अक्ष द्वारा घिरा हुआ है। तो

$\int_{a-6}^{b-6} f(x+6) dx$ किसके बराबर है?

मान लीजिए $f: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [0, 1]$ एक फलन है जो $f(x) = \sin^2 x$ द्वारा परिभाषित है और मान लीजिए $g: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [0, \infty)$ एक फलन है जो $g(x) = \sqrt{\frac{\pi x}{2} - x^2}$ द्वारा परिभाषित है।
(इस अनुच्छेद पर आधारित दो प्रश्न हैं। नीचे दिए गए प्रश्न वे दो हैं।)
$(1)$ $2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) g(x) dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$(2)$ $\frac{16}{\pi^3} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) g(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \int_{0}^{x} g(t) dt$,जहाँ $g$ एक शून्येतर सम फलन है। यदि $f(x+5) = g(x)$ है,तो $\int_{0}^{x} f(t) dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $I_{m, n} = \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$ जहाँ $m, n \geq 1$ है और $\int_{0}^{1} \frac{x^{m-1}+x^{n-1}}{(1+x)^{m+n}} dx = \alpha I_{m, n}$,जहाँ $\alpha \in R$,तो $\alpha$ का मान .... है।

$\int_{-1}^{1} \sin^{5} x \cos^{4} x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।