मान लीजिए f(x)=x^2 और g(x)=sin x सभी x in R क | vedclass

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Question

(A) दिया है,$f(x) = x^2$ और $g(x) = \sin x$ सभी $x \in R$ के लिए। सबसे पहले,$(f \circ g \circ g \circ f)(x)$ की गणना करें: $(f \circ g \circ g \circ f

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$\pm \sqrt{n \pi}, n \in \{0, 1, 2, \ldots\}$

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(A) दिया है,$f(x) = x^2$ और $g(x) = \sin x$ सभी $x \in R$ के लिए। सबसे पहले,$(f \circ g \circ g \circ f)(x)$ की गणना करें: $(f \circ g \circ g \circ f)(x) = f(g(g(f(x)))) = f(g(g(x^2))) = f(g(\sin x^2)) = f(\sin(\sin x^2)) = (\sin(\sin x^2))^2$. इसके बाद,$(g \circ g \circ f)(x)$ की गणना करें: $(g \circ g \circ f)(x) = g(g(f(x))) = g(g(x^2)) = g(\sin x^2) = \sin(\sin x^2)$. दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $(\sin(\sin x^2))^2 = \sin(\sin x^2)$. मान लीजिए $u = \sin(\sin x^2)$. तब $u^2 = u$,जिसका अर्थ है $u^2 - u = 0$,इसलिए $u(u - 1) = 0$. इससे $u = 0$ या $u = 1$ प्राप्त होता है। स्थिति $1$: $\sin(\sin x^2) = 0$. इसका अर्थ है $\sin x^2 = n \pi$ किसी पूर्णांक $n$ के लिए। चूँकि $\sin x^2$ का परिसर $[-1, 1]$ है,$n \pi$ के लिए केवल $0$ ही संभव मान है (जब $n = 0$ हो)। इसलिए,$\sin x^2 = 0$,जिसका अर्थ है $x^2 = n \pi$ जहाँ $n \in \{0, 1, 2, \ldots\}$। अतः,$x = \pm \sqrt{n \pi}$ जहाँ $n \in \{0, 1, 2, \ldots\}$। स्थिति $2$: $\sin(\sin x^2) = 1$. इसका अर्थ है $\sin x^2 = \frac{\pi}{2}$. चूँकि $\frac{\pi}{2} \approx 1.57 > 1$,इसके लिए $x$ का कोई वास्तविक मान संभव नहीं है। इसलिए,$x$ का समुच्चय $\pm \sqrt{n \pi}$ है जहाँ $n \in \{0, 1, 2, \ldots\}$।

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