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Question

(A) दिया गया है $f(x)=\int_{1 / x}^x e^{-\left(t+\frac{1}{t}\right)} \frac{d t}{t}$.लेबनीज़ नियम का उपयोग करते हुए:$f^{\prime}(x) = e^{-\left(x+\frac{

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$(A, C, D)$

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(A) दिया गया है $f(x)=\int_{1 / x}^x e^{-\left(t+\frac{1}{t}\right)} \frac{d t}{t}$.लेबनीज़ नियम का उपयोग करते हुए:$f^{\prime}(x) = e^{-\left(x+\frac{1}{x}\right)} \cdot \frac{1}{x} - e^{-\left(\frac{1}{x}+x\right)} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{2 e^{-\left(x+\frac{1}{x}\right)}}{x}$.$(A)$ $x \in [1, \infty)$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$,अतः $f(x)$ वर्धमान फलन है। अतः $(A)$ सही है।$(B)$ $x \in (0, 1)$ के लिए,$f^{\prime}(x) > 0$,अतः $f(x)$ वर्धमान फलन है। अतः $(B)$ गलत है।$(C)$ $f(1/x) = \int_{x}^{1/x} e^{-\left(t+\frac{1}{t}\right)} \frac{dt}{t}$. $t = 1/u$ रखने पर,$f(1/x) = -f(x)$. अतः $f(x) + f(1/x) = 0$. अतः $(C)$ सही है।$(D)$ $g(x) = f(2^x)$ लेने पर,$g(-x) = f(2^{-x}) = -f(2^x) = -g(x)$. अतः $f(2^x)$ एक विषम फलन है। अतः $(D)$ सही है।सही विकल्प $(A, C, D)$ है।

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माना कि $f : (-1, 1) \to R$ एक सतत फलन है। यदि $\int\limits_0^{\sin x} {f(t)dt} = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ है,तो $f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^6 x \cos^4 x \, dx =$

यदि एक सतत फलन $f(x)$ के लिए,$\int_{-\pi}^{t} (f(x) + x) dx = \pi^2 - t^2$ सभी $t \ge -\pi$ के लिए सत्य है,तो $f\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^4(2 x) \cos ^6(2 x) d x=$

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