ધારો કે z_k = cos left(frac{2kpi}{10}right) + | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) $(P)$ $z_k = e^{i(2k\pi/10)}$ હોવાથી,$z_k \cdot z_j = e^{i(2(k+j)\pi/10)} = 1$ થાય જો $k+j = 10$ હોય. કોઈપણ $k \in \{1, \ldots, 9\}$ માટે,આપણે $j

Vedclass · Accepted Answer

$1 \quad 2 \quad 3 \quad 4$

Vedclass · Answer

(C) $(P)$ $z_k = e^{i(2k\pi/10)}$ હોવાથી,$z_k \cdot z_j = e^{i(2(k+j)\pi/10)} = 1$ થાય જો $k+j = 10$ હોય. કોઈપણ $k \in \{1, \ldots, 9\}$ માટે,આપણે $j = 10-k \in \{1, \ldots, 9\}$ પસંદ કરી શકીએ છીએ. તેથી,આ વિધાન સત્ય છે $(1)$.$(Q)$ સમીકરણ $z_1 \cdot z = z_k$ એ સંકર સંખ્યાઓમાં સુરેખ સમીકરણ છે,જેનો હંમેશા ઉકેલ $z = z_k / z_1$ મળે છે. તેથી,આ વિધાન અસત્ય છે $(2)$.$(R)$ $z_1, z_2, \ldots, z_9$ એ $\frac{z^{10}-1}{z-1} = 0$ ના બીજ છે. તેથી,$z^{10}-1 = (z-1)(z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_9)$. $(z-1)$ વડે ભાગતા,આપણને $1+z+z^2+\ldots+z^9 = (z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_9)$ મળે છે. $z=1$ મૂકતા,$10 = (1-z_1)(1-z_2)\ldots(1-z_9)$ મળે છે. માનાંક લેતા,$|1-z_1||1-z_2|\ldots|1-z_9| = 10$. તેથી,પદાવલિની કિંમત $10/10 = 1$ થાય છે $(3)$.$(S)$ $z^{10}-1=0$ ના તમામ બીજનો સરવાળો $1 + z_1 + z_2 + \ldots + z_9 = 0$ છે. તેથી,$\sum_{k=1}^9 z_k = -1$. વાસ્તવિક ભાગ લેતા,$\sum_{k=1}^9 \cos(2k\pi/10) = -1$. તેથી $1 - (-1) = 2$ $(4)$.આમ,સાચી જોડ $P-1, Q-2, R-3, S-4$ છે.

યાદી-$I$	યાદી-$II$
$P.$ દરેક $z_k$ માટે એવો $z_j$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $z_k \cdot z_j = 1$ થાય	$1.$ સત્ય
$Q.$ એવો $k \in \{1, 2, \ldots, 9\}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $z_1 \cdot z = z_k$ નો સંકર સંખ્યાઓના ગણમાં કોઈ ઉકેલ ન મળે.	$2.$ અસત્ય
$R.$ $\frac{\|1-z_1\|\|1-z_2\| \ldots \|1-z_9\|}{10}$ ની કિંમત	$3.$ $1$
$S.$ $1 - \sum_{k=1}^9 \cos \left(\frac{2k\pi}{10}\right)$ ની કિંમત	$4.$ $2$

Similar Questions

$(1-i)^{\frac{2}{5}}$ ના તમામ મૂલ્યોનો ગુણાકાર શું થાય?

જો $z$ એક સંકર સંખ્યા હોય,તો સમીકરણો $z^{1985}+z^{100}+1=0$ અને $z^3+2z^2+2z+1=0$ ના સામાન્ય બીજની સંખ્યા કેટલી થાય?

જો $x^{2}+x+1=0$ હોય, તો $(x+\frac{1}{x})^{4}+(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{4}+(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})^{4}+\dots+(x^{25}+\frac{1}{x^{25}})^{4}$ નું મૂલ્ય શું છે?

જો $\theta = \frac{\pi}{6}$ હોય,તો શ્રેણી $1 + (\cos \theta + i \sin \theta) + (\cos \theta + i \sin \theta)^2 + (\cos \theta + i \sin \theta)^3 + \ldots$ નું $10$ મું પદ શું થાય?

ધારો કે $\omega \neq 1$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે. તો ગણ $\{|a + b\omega + c\omega^2|^2 : a, b, c \text{ એ ભિન્ન શૂન્યતર પૂર્ણાંકો છે}\}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module