मान लीजिए कि P और Q परवलय y^2=2x पर स्थित दो | vedclass

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Question

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 2x$ है,इसलिए $4a = 2$,जिससे $a = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।मान लीजिए $P = (\frac{t_1^2}{2}, t_1)$ और $Q = (\frac{t_2^2}{

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$(A, D)$

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(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 2x$ है,इसलिए $4a = 2$,जिससे $a = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।मान लीजिए $P = (\frac{t_1^2}{2}, t_1)$ और $Q = (\frac{t_2^2}{2}, t_2)$ परवलय पर स्थित बिंदु हैं।चूंकि $PQ$ व्यास वाला वृत्त मूल बिंदु $O(0,0)$ से गुजरता है,सदिश $\vec{OP}$ और $\vec{OQ}$ लंबवत हैं,इसलिए $\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = 0$.$(\frac{t_1^2}{2})(\frac{t_2^2}{2}) + t_1 t_2 = 0 \Rightarrow t_1 t_2 (\frac{t_1 t_2}{4} + 1) = 0$.चूंकि $P$ और $Q$ भिन्न हैं,$t_1 t_2 = -4$.मान लीजिए $t_1 = t$,तो $t_2 = -\frac{4}{t}$.निर्देशांक $P = (\frac{t^2}{2}, t)$ और $Q = (\frac{8}{t^2}, -\frac{4}{t})$ हैं।$\Delta OPQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_P y_Q - x_Q y_P| = \frac{1}{2} |(\frac{t^2}{2})(-\frac{4}{t}) - (\frac{8}{t^2})(t)| = \frac{1}{2} |-2t - \frac{8}{t}| = |t + \frac{4}{t}|$.क्षेत्रफल $3\sqrt{2}$ दिया गया है,इसलिए $|t + \frac{4}{t}| = 3\sqrt{2}$.चूंकि $P$ प्रथम चतुर्थांश में है,$t > 0$,इसलिए $t^2 - 3\sqrt{2}t + 4 = 0$.$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{18 - 16}}{2} = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{2}$.$t_1 = 2\sqrt{2}$ और $t_2 = \sqrt{2}$.$t = 2\sqrt{2}$ के लिए,$P = (\frac{(2\sqrt{2})^2}{2}, 2\sqrt{2}) = (4, 2\sqrt{2})$.$t = \sqrt{2}$ के लिए,$P = (\frac{(\sqrt{2})^2}{2}, \sqrt{2}) = (1, \sqrt{2})$.अतः,$P$ के निर्देशांक $(4, 2\sqrt{2})$ और $(1, \sqrt{2})$ हैं,जो विकल्प $(D)$ के अनुरूप है।

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