मान लीजिए $S = \{(x, y) \in R \times R : x \geq 0, y \geq 0, y^2 \leq 4x, y^2 \leq 12 - 2x \text{ और } 3y + \sqrt{8}x \leq 5\sqrt{8}\}$ है। यदि क्षेत्र $S$ का क्षेत्रफल $\alpha \sqrt{2}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $C_{1}$ अवकल समीकरण $2xy \frac{dy}{dx} = y^{2} - x^{2}, x > 0$ के हल द्वारा प्राप्त वक्र है। मान लीजिए वक्र $C_{2}$,$\frac{2xy}{x^{2} - y^{2}} = \frac{dy}{dx}$ का हल है। यदि दोनों वक्र $(1, 1)$ से गुजरते हैं,तो वक्रों $C_{1}$ और $C_{2}$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल किसके बराबर है?

परवलयों $y^{2}=2x-1$ और $y^{2}=4x-3$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

प्रथम चतुर्थांश में परवलय $y^{2}=x$ और रेखा $x+y=2$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

क्षेत्र $A = \{(x,y) \in R \times R | 0 \le x \le 3, 0 \le y \le 4, y \le x^2 + 3x\}$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $P_{1}: y = 4x^{2}$ और $P_{2}: y = x^{2} + 27$ दो परवलय हैं। यदि $P_{1}$ और $P_{2}$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल, रेखा $y = \alpha x, \alpha > 0$ और $P_{1}$ के बीच घिरे क्षेत्र के क्षेत्रफल का छह गुना है, तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए: