परवलयों y^{2}=2x-1 और y^{2}=4x-3 के बीच घिरे | vedclass

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Question

(A) परवलयों $y^{2}=2x-1$ और $y^{2}=4x-3$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।$x$ के लिए द

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$\frac{1}{3}$

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(A) परवलयों $y^{2}=2x-1$ और $y^{2}=4x-3$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।$x$ के लिए दोनों समीकरणों को बराबर करने पर:$y^{2}=2x-1$ से,$x = \frac{y^{2}+1}{2}$ प्राप्त होता है।$y^{2}=4x-3$ से,$x = \frac{y^{2}+3}{4}$ प्राप्त होता है।दोनों को बराबर रखने पर: $\frac{y^{2}+1}{2} = \frac{y^{2}+3}{4} \implies 2y^{2}+2 = y^{2}+3 \implies y^{2}=1 \implies y = \pm 1$.क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए हम $y \in [0, 1]$ के लिए क्षेत्रफल की गणना करके उसे $2$ से गुणा करेंगे।आवश्यक क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{y^{2}+3}{4} - \frac{y^{2}+1}{2} ight) dy$$= 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{y^{2}+3 - 2y^{2}-2}{4} ight) dy$$= 2 \int_{0}^{1} \frac{1-y^{2}}{4} dy$$= \frac{1}{2} \left[ y - \frac{y^{3}}{3} ight]_{0}^{1}$$= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{3} ight) = \frac{1}{2} 	imes \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

परवलयों $y^{2}=2x-1$ और $y^{2}=4x-3$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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