मान लीजिए vec{p}=2 hat{i}+hat{j}+3 hat{k} और | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $15 \hat{i}+10 \hat{j}+6 \hat{k}=\alpha(2 \vec{p}+\vec{q})+\beta(\vec{p}-2 \vec{q})+\gamma(\vec{p} 	imes \vec{q})$.दोनों पक्षों

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$2$

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(B) दिया गया समीकरण: $15 \hat{i}+10 \hat{j}+6 \hat{k}=\alpha(2 \vec{p}+\vec{q})+\beta(\vec{p}-2 \vec{q})+\gamma(\vec{p} 	imes \vec{q})$.दोनों पक्षों का $(\vec{p} 	imes \vec{q})$ के साथ अदिश गुणन (dot product) लेने पर,हम जानते हैं कि $(\vec{p} 	imes \vec{q}) \cdot (2 \vec{p}+\vec{q}) = 0$ और $(\vec{p} 	imes \vec{q}) \cdot (\vec{p}-2 \vec{q}) = 0$ क्योंकि सदिश गुणनफल दोनों सदिशों के लंबवत होता है।अतः,हमें प्राप्त होता है: $(15 \hat{i}+10 \hat{j}+6 \hat{k}) \cdot (\vec{p} 	imes \vec{q}) = \gamma |\vec{p} 	imes \vec{q}|^2$.बायां पक्ष अदिश त्रिक गुणन $[15 \hat{i}+10 \hat{j}+6 \hat{k}, \vec{p}, \vec{q}]$ है,जो सारणिक द्वारा दिया जाता है:$\begin{vmatrix} 15 & 10 & 6 \ 2 & 1 & 3 \ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 15(1 - (-3)) - 10(2 - 3) + 6(-2 - 1) = 15(4) - 10(-1) + 6(-3) = 60 + 10 - 18 = 52$.अब,$\vec{p} 	imes \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & 1 & 3 \ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 4 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}$ की गणना करें।तब $|\vec{p} 	imes \vec{q}|^2 = 4^2 + 1^2 + (-3)^2 = 16 + 1 + 9 = 26$.इन मानों को समीकरण में रखने पर: $52 = \gamma(26)$.अतः,$\gamma = 2$.

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