मान लीजिए L_1: frac{x-1}{2}=frac{y-2}{3}=frac | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $P(2\lambda+1, 3\lambda+2, 4\lambda+3)$ रेखा $L_1$ पर एक बिंदु है और $Q(3\mu+2, 4\mu+4, 5\mu+5)$ रेखा $L_2$ पर एक बिंदु है।$PQ$ के दिक अ

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$\left(\frac{14}{3},-3, \frac{22}{3}\right)$

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(D) मान लीजिए $P(2\lambda+1, 3\lambda+2, 4\lambda+3)$ रेखा $L_1$ पर एक बिंदु है और $Q(3\mu+2, 4\mu+4, 5\mu+5)$ रेखा $L_2$ पर एक बिंदु है।$PQ$ के दिक अनुपात $(3\mu-2\lambda+1, 4\mu-3\lambda+2, 5\mu-4\lambda+2)$ हैं।चूंकि $PQ$ न्यूनतम दूरी की रेखा है,इसलिए $PQ \perp L_1$ और $PQ \perp L_2$ है।$PQ \perp L_1$ के लिए: $2(3\mu-2\lambda+1) + 3(4\mu-3\lambda+2) + 4(5\mu-4\lambda+2) = 0 \Rightarrow 38\mu - 29\lambda + 16 = 0$.$PQ \perp L_2$ के लिए: $3(3\mu-2\lambda+1) + 4(4\mu-3\lambda+2) + 5(5\mu-4\lambda+2) = 0 \Rightarrow 50\mu - 38\lambda + 21 = 0$.इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $\lambda = \frac{1}{3}$ और $\mu = -\frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$P = \left(\frac{5}{3}, 3, \frac{13}{3}\right)$ और $Q = \left(\frac{3}{2}, \frac{10}{3}, \frac{25}{6}\right)$ प्राप्त होते हैं।$P$ से गुजरने वाली और $\vec{PQ} = Q-P = \left(-\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{6}\right)$ (या $(1, -2, 1)$) के समानुपाती दिक अनुपात वाली रेखा $PQ$ का समीकरण $\frac{x-5/3}{1} = \frac{y-3}{-2} = \frac{z-13/3}{1}$ है।विकल्पों की जाँच करने पर,बिंदु $\left(\frac{14}{3}, -3, \frac{22}{3}\right)$ इस समीकरण को संतुष्ट करता है: $\frac{14/3 - 5/3}{1} = 3$,$\frac{-3-3}{-2} = 3$,$\frac{22/3 - 13/3}{1} = 3$.

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यदि रेखाएँ $\frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 2}{2k} = \frac{z - 3}{2}$ और $\frac{x - 1}{3k} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z - 6}{-5}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,तो $k = \dots$

यदि बिंदुओं $A, B, C, D$ के निर्देशांक क्रमशः $(1, 2, 3), (4, 5, 7), (-4, 3, -6)$ और $(2, 9, 2)$ हैं,तो रेखाओं $AB$ और $CD$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

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