मान लीजिए L_1: frac{x-1}{3}=frac{y-1}{-1}=fra | vedclass

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Question

(D) रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के बिंदु $B$ पर प्रतिच्छेद करने के लिए,निर्देशांक समान होने चाहिए: $(3\lambda+1, -\lambda+1, -1) = (2\mu+2, 0, \alpha\mu-4)$

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$216$

Vedclass · Answer

(D) रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के बिंदु $B$ पर प्रतिच्छेद करने के लिए,निर्देशांक समान होने चाहिए: $(3\lambda+1, -\lambda+1, -1) = (2\mu+2, 0, \alpha\mu-4)$. $y$-निर्देशांक से,$-\lambda+1 = 0 \implies \lambda = 1$. $x$-निर्देशांक में $\lambda=1$ रखने पर: $3(1)+1 = 2\mu+2 \implies 4 = 2\mu+2 \implies \mu = 1$. $z$-निर्देशांक में $\mu=1$ रखने पर: $-1 = \alpha(1)-4 \implies \alpha = 3$. अतः,बिंदु $B = (4, 0, -1)$. रेखा $L_2$ है $\frac{x-2}{2} = \frac{y}{0} = \frac{z+4}{3} = \delta$. अतः,$L_2$ पर कोई भी बिंदु $P = (2\delta+2, 0, 3\delta-4)$ है। $AP$ का दिशा सदिश $\vec{AP} = (2\delta+1, -1, 3\delta-3)$ है। चूंकि $AP \perp L_2$,$\vec{AP}$ और $L_2$ के दिशा सदिश $(2, 0, 3)$ का डॉट गुणनफल शून्य होगा: $2(2\delta+1) + 0(-1) + 3(3\delta-3) = 0 \implies 4\delta+2 + 9\delta-9 = 0 \implies 13\delta = 7 \implies \delta = \frac{7}{13}$. बिंदु $P = (2(\frac{7}{13})+2, 0, 3(\frac{7}{13})-4) = (\frac{40}{13}, 0, -\frac{31}{13})$. $PB^2 = (4-\frac{40}{13})^2 + (0-0)^2 + (-1+\frac{31}{13})^2 = (\frac{12}{13})^2 + (\frac{18}{13})^2 = \frac{144+324}{169} = \frac{468}{169}$. अंत में,$26\alpha(PB)^2 = 26 	imes 3 	imes \frac{468}{169} = 78 	imes \frac{36}{13} = 6 	imes 36 = 216$.

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