ધારો કે f એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી 2(x+2)^2 f | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સમીકરણ: $2(x+2)^2 f(x) - 3(x+2)^2 = 10 \int_0^x (t+2) f(t) dt$. $x=0$ મુકતા,$2(2)^2 f(0) - 3(2)^2 = 0 \implies 8 f(0) = 12 \implies f(0) = \f

Vedclass · Accepted Answer

$19$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સમીકરણ: $2(x+2)^2 f(x) - 3(x+2)^2 = 10 \int_0^x (t+2) f(t) dt$. $x=0$ મુકતા,$2(2)^2 f(0) - 3(2)^2 = 0 \implies 8 f(0) = 12 \implies f(0) = \frac{3}{2}$. લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $4(x+2) f(x) + 2(x+2)^2 f'(x) - 6(x+2) = 10(x+2) f(x)$. $2(x+2)$ વડે ભાગતા: $2 f(x) + (x+2) f'(x) - 3 = 5 f(x)$. $(x+2) f'(x) - 3 f(x) = 3$. આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{df}{dx} - \frac{3}{x+2} f = \frac{3}{x+2}$. સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -\frac{3}{x+2} dx} = (x+2)^{-3}$. $IF$ વડે ગુણતા: $\frac{d}{dx} [f(x) (x+2)^{-3}] = 3(x+2)^{-4}$. બંને બાજુ સંકલન કરતા: $f(x) (x+2)^{-3} = -(x+2)^{-3} + C$. $f(x) = -1 + C(x+2)^3$. $f(0) = \frac{3}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{3}{2} = -1 + 8C \implies C = \frac{5}{16}$. તેથી,$f(x) = \frac{5}{16}(x+2)^3 - 1$. $f(2) = \frac{5}{16}(4)^3 - 1 = 20 - 1 = 19$.

ધારો કે $f$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $2(x+2)^2 f(x) - 3(x+2)^2 = 10 \int_0^x (t+2) f(t) dt$,$x \geq 0$ માટે. તો $f(2)$ ની કિંમત . . . . . . છે.

Similar Questions

જો વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = e^{2x}, x \in (0, \pi)$ નો ઉકેલ $y(x)$ એ $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ નું સમાધાન કરતું હોય, તો $y\left(\frac{\pi}{6}\right) = $

$\cos ^2 x \frac{d y}{d x}+y=\tan x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + y = e^{\tan^{-1} x}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

ધારો કે $f: [1, \infty) \to \mathbb{R}$ એ એક વિકલનીય વિધેય છે જે $f(x) = \int_1^x f(t) \, dt + (1 - x)(\log_e x - 1) + e$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. તો $f(f(1))$ નું મૂલ્ય શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module