मान लीजिए कि M क्रम 3 times 3 के सभी वास्तविक | vedclass

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Question

(A) $3 	imes 3$ आव्यूह $A$ के लिए,$S_1$ (सममित आव्यूह) में अवयवों की संख्या स्वतंत्र प्रविष्टियों $a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{13}, a_{23}$ द्

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$1613$

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(A) $3 	imes 3$ आव्यूह $A$ के लिए,$S_1$ (सममित आव्यूह) में अवयवों की संख्या स्वतंत्र प्रविष्टियों $a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{13}, a_{23}$ द्वारा निर्धारित होती है। चूंकि प्रत्येक $5$ मान ले सकता है,$n(S_1) = 5^6 = 15625$। $S_2$ (विषम-सममित आव्यूह) के लिए,सभी $i$ के लिए $a_{ii}=0$। चूंकि $0 
otin S$,इसलिए $n(S_2) = 0$। $S_3$ के लिए,शर्त $a_{11}+a_{22}+a_{33}=0$ है। $S$ से $(a_{11}, a_{22}, a_{33})$ चुनने के तरीके जिनका योग $0$ है: $(1, 2, -3)$ के $3! = 6$ क्रमचय,$(1, 1, -2)$ के $3$ क्रमचय,$(-1, -1, 2)$ के $3$ क्रमचय। कुल तरीके = $6+3+3 = 12$। अन्य $6$ प्रविष्टियाँ $5$ में से कोई भी हो सकती हैं,इसलिए $n(S_3) = 12 	imes 5^6$। $n(S_1 \cap S_3)$ के लिए $A=A^T$ और $a_{11}+a_{22}+a_{33}=0$ आवश्यक है। विकर्ण प्रविष्टियों को योग शर्त ($12$ तरीके) को पूरा करना होगा और अन्य $3$ प्रविष्टियाँ $5$ में से कोई भी हो सकती हैं। इसलिए $n(S_1 \cap S_3) = 12 	imes 5^3$। $n(S_1 \cup S_2 \cup S_3) = n(S_1) + n(S_2) + n(S_3) - n(S_1 \cap S_2) - n(S_2 \cap S_3) - n(S_1 \cap S_3) + n(S_1 \cap S_2 \cap S_3)$। चूंकि $S_2$ रिक्त है,$S_2$ से जुड़े सभी प्रतिच्छेदन $0$ हैं। $n(S_1 \cup S_2 \cup S_3) = 5^6 + 0 + 12 	imes 5^6 - 0 - 0 - 12 	imes 5^3 + 0 = 13 	imes 5^6 - 12 	imes 5^3 = 5^3(13 	imes 5^3 - 12) = 125(1625 - 12) = 125(1613)$। अतः,$\alpha = 1613$।

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यदि $A$ एक वर्ग आव्यूह है,इस प्रकार कि $A^2=A$,तो $(I+A)^3$ का मान क्या होगा?

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