$\det \left[ \begin{array}{ccc} \frac{a^2+b^2}{c} & c & c \\ a & \frac{b^2+c^2}{a} & a \\ b & b & \frac{c^2+a^2}{b} \end{array} \right] = $

यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $M = A + A^{2} + A^{3} + \dots + A^{20}$ है,तो आव्यूह $M$ के सभी अवयवों का योग $.....$ के बराबर है।

यदि $\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$ एक विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) है और $b, c, f$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं, तो $\frac{b}{c} = $

सूची $I$	सूची $II$
$P.$ मान लीजिए $y(x)=\cos \left(3 \cos ^{-1} x\right), x \in[-1,1], x \neq \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. तब $\frac{1}{y(x)}\left\{\left(x^2-1\right) \frac{d^2 y(x)}{d x^2}+x \frac{d y(x)}{d x}\right\}$ बराबर है	$1. \ 1$
$Q.$ मान लीजिए $A_1, A_2, \ldots, A_n(n>2)$ मूल बिंदु पर केंद्र वाले $n$ भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज के शीर्ष हैं। मान लीजिए $\vec{a}_k$ बिंदु $A_k, k=1,2, \ldots, n$ का स्थिति सदिश है। यदि $\left|\sum_{k=1}^{n-1}\left(\vec{a}_k \times \vec{a}_{k+1}\right)\right|=\left|\sum_{k=1}^{n-1}\left(\vec{a}_k \cdot \vec{a}_{k+1}\right)\right|$,तो $n$ का न्यूनतम मान है	$2. \ 2$
$R.$ यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ पर बिंदु $P(h, 1)$ से अभिलंब रेखा $x+y=8$ के लंबवत है,तो $h$ का मान है	$3. \ 8$
$S.$ समीकरण $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2 x+1}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{4 x+1}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{2}{x^2}\right)$ को संतुष्ट करने वाले धनात्मक हलों की संख्या है	$4. \ 9$

कोड: $P \quad Q \quad R \quad S$

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ है। तो, समीकरण $\operatorname{det}(A - \lambda I_{3}) = 0$ (जहाँ $I_{3}$ कोटि $3$ का तत्समक आव्यूह है) के मूल ज्ञात कीजिए।

यदि आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ को एक सममित आव्यूह $B$ और एक विषम-सममित आव्यूह $C$ के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो निम्नलिखित में से कौन सा संबंध सही है?