सूची Iसूची IIP. मान लीजिए y(x)=cos left(3 cos | vedclass

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Question

(C) $(P)$ दिया है $y(x) = \cos(3 \cos^{-1} x) = 4x^3 - 3x$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 12x^2 - 3$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = 24x$ प्रा

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$4 \quad 3 \quad 1 \quad 2$

Vedclass · Answer

(C) $(P)$ दिया है $y(x) = \cos(3 \cos^{-1} x) = 4x^3 - 3x$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 12x^2 - 3$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = 24x$ प्राप्त होता है। इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $(x^2-1)(24x) + x(12x^2-3) = 24x^3 - 24x + 12x^3 - 3x = 36x^3 - 27x = 9(4x^3 - 3x) = 9y$. अतः,$\frac{1}{y} \{9y\} = 9$. इसलिए $P 	o 4$. $(Q)$ सदिश गुणन का परिमाण $\sum |\vec{a}_k| |\vec{a}_{k+1}| \sin(\frac{2\pi}{n}) = (n-1) \lambda^2 \sin(\frac{2\pi}{n})$ है। अदिश गुणन का परिमाण $\sum |\vec{a}_k| |\vec{a}_{k+1}| \cos(\frac{2\pi}{n}) = (n-1) \lambda^2 \cos(\frac{2\pi}{n})$ है। दोनों को बराबर करने पर $	an(\frac{2\pi}{n}) = 1$ मिलता है,इसलिए $\frac{2\pi}{n} = \frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है $n = 8$. इसलिए $Q 	o 3$. $(R)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1$ पर बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब $\frac{6x}{x_1} - \frac{3y}{y_1} = 3$ है। $P(h, 1)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,इसलिए $\frac{h^2}{6} + \frac{1}{3} = 1 \implies h^2 = 4 \implies h = 2$. अभिलंब की ढाल $\frac{2y_1}{x_1}$ है। चूंकि यह $x+y=8$ (ढाल $-1$) के लंबवत है,अभिलंब की ढाल $1$ है। इसलिए $2y_1 = x_1$. दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर $y_1 = 1$ और $x_1 = 2$ मिलता है। अभिलंब का समीकरण $x - y = 1$ होता है। $P(h, 1)$ अभिलंब पर है,इसलिए $h - 1 = 1 \implies h = 2$. इसलिए $R 	o 2$. $(S)$ $	an^{-1} A + 	an^{-1} B = 	an^{-1}(\frac{A+B}{1-AB})$ सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{6x+2}{8x^2+6x} = \frac{2}{x^2} \implies 3x^3 - 7x^2 - 6x = 0$ मिलता है। चूंकि $x > 0$,$3x^2 - 7x - 6 = 0 \implies (3x+2)(x-3) = 0$. केवल $x=3$ एक धनात्मक हल है। अतः,$1$ धनात्मक हल है। इसलिए $S 	o 1$.

सूची $I$	सूची $II$
$P.$ मान लीजिए $y(x)=\cos \left(3 \cos ^{-1} x\right), x \in[-1,1], x \neq \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. तब $\frac{1}{y(x)}\left\{\left(x^2-1\right) \frac{d^2 y(x)}{d x^2}+x \frac{d y(x)}{d x}\right\}$ बराबर है	$1. \ 1$
$Q.$ मान लीजिए $A_1, A_2, \ldots, A_n(n>2)$ मूल बिंदु पर केंद्र वाले $n$ भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज के शीर्ष हैं। मान लीजिए $\vec{a}_k$ बिंदु $A_k, k=1,2, \ldots, n$ का स्थिति सदिश है। यदि $\left\|\sum_{k=1}^{n-1}\left(\vec{a}_k \times \vec{a}_{k+1}\right)\right\|=\left\|\sum_{k=1}^{n-1}\left(\vec{a}_k \cdot \vec{a}_{k+1}\right)\right\|$,तो $n$ का न्यूनतम मान है	$2. \ 2$
$R.$ यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ पर बिंदु $P(h, 1)$ से अभिलंब रेखा $x+y=8$ के लंबवत है,तो $h$ का मान है	$3. \ 8$
$S.$ समीकरण $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2 x+1}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{4 x+1}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{2}{x^2}\right)$ को संतुष्ट करने वाले धनात्मक हलों की संख्या है	$4. \ 9$

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