ધારો કે f : (0, infty) rightarrow mathbb{R} એ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે કે $\int_0^1 f(\lambda x) d\lambda = a f(x)$.ધારો કે $\lambda x = t$,તેથી $d\lambda = \frac{1}{x} dt$.સંકલનમાં આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{x

Vedclass · Accepted Answer

$112$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે કે $\int_0^1 f(\lambda x) d\lambda = a f(x)$.ધારો કે $\lambda x = t$,તેથી $d\lambda = \frac{1}{x} dt$.સંકલનમાં આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{x} \int_0^x f(t) dt = a f(x)$,જે સૂચવે છે કે $\int_0^x f(t) dt = a x f(x)$.કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $f(x) = a(f(x) + x f^{\prime}(x))$.પદો ગોઠવતા $(1 - a) f(x) = a x f^{\prime}(x)$ મળે,તેથી $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1 - a}{a} \cdot \frac{1}{x}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|f(x)| = \frac{1 - a}{a} \ln x + C$.$f(1) = 1$ હોવાથી,$C = 0$ મળે,તેથી $f(x) = x^{\frac{1-a}{a}}$.$f(16) = \frac{1}{8}$ આપેલ છે,તેથી $16^{\frac{1-a}{a}} = 2^{-3}$.$16 = 2^4$ હોવાથી,$2^{4 \cdot \frac{1-a}{a}} = 2^{-3}$,તેથી $\frac{4(1-a)}{a} = -3$.$4 - 4a = -3a \Rightarrow a = 4$.આમ,$f(x) = x^{\frac{1-4}{4}} = x^{-3/4}$.તેથી $f^{\prime}(x) = -\frac{3}{4} x^{-7/4}$.$f^{\prime}\left(\frac{1}{16}\right) = -\frac{3}{4} \left(2^{-4}\right)^{-7/4} = -\frac{3}{4} \cdot 2^7 = -\frac{3}{4} \cdot 128 = -3 \cdot 32 = -96$.તેથી,$16 - f^{\prime}\left(\frac{1}{16}\right) = 16 - (-96) = 112$.

Similar Questions

જો $f(x+ay)+g(x-ay)=0$ હોય,તો $a \frac{dy}{dx}=$

જો $y = x^2 + \frac{1}{x^2 + \frac{1}{x^2 + \frac{1}{x^2 + \dots \infty}}}$ હોય,તો $\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત શોધો.

જો ${x^2} + {y^2} = 1$ હોય,તો $y'$ અને $y''$ વચ્ચેનો સંબંધ શોધો,જ્યાં $y' = \frac{dy}{dx}$ અને $y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$.

જો ${x^2} + {y^2} = t - \frac{1}{t}$ અને ${x^4} + {y^4} = {t^2} + \frac{1}{{{t^2}}}$ હોય,તો $\frac{{dy}}{{dx}}$ ની કિંમત શોધો.

વિધેય $x^{y} + y^{x} = 1$ માટે $\frac{dy}{dx}$ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module