मान लीजिए $C$ दीर्घवृत्त $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ को घेरने वाला न्यूनतम क्षेत्रफल वाला वृत्त है,जिसकी उत्केंद्रता $e = \frac{1}{2}$ और नाभियाँ $(\pm 2, 0)$ हैं। मान लीजिए $PQR$ एक चर त्रिभुज है,जिसका शीर्ष $P$ वृत्त $C$ पर है और $2$ लंबाई वाली भुजा $QR$ दीर्घवृत्त $E$ के मुख्य अक्ष के समानांतर है और $E$ के ऋणात्मक $y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है। तो त्रिभुज $PQR$ का अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (जहाँ $a > b$) के सहायक वृत्त का क्षेत्रफल दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल का दोगुना है,तो दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता क्या है?

यदि दो दीर्घवृत्तों $\frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{25} = 1$ और $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की उत्केंद्रताएँ समान हैं,तो $a/b$ का मान क्या है?

बिंदु $A(8, 0)$ से दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{32} + \frac{y^2}{8} = 1$ पर एक स्पर्श रेखा खींची जाती है जो दीर्घवृत्त को बिंदु $P$ पर स्पर्श करती है। यदि $P$ पर अभिलंब दीर्घवृत्त के मुख्य अक्ष को बिंदु $B$ पर मिलता है,तो लंबाई $BC$ का मान क्या है? (जहाँ $C$ दीर्घवृत्त का केंद्र है) - ............ $units$

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1$ की नियताओं (directrices) के बीच की दूरी है

दो सीधी रेखाओं पर विचार करें,जिनमें से प्रत्येक वृत्त $x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$ और परवलय $y^2 = 4x$ दोनों को स्पर्श करती है। मान लीजिए कि ये रेखाएं बिंदु $Q$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। उस दीर्घवृत्त पर विचार करें जिसका केंद्र मूल बिंदु $O(0,0)$ पर है और जिसकी अर्ध-दीर्घ अक्ष $OQ$ है। यदि इस दीर्घवृत्त के लघु अक्ष की लंबाई $\sqrt{2}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ दीर्घवृत्त के लिए,उत्केंद्रता $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है और नाभिलंब की लंबाई $1$ है।
$(B)$ दीर्घवृत्त के लिए,उत्केंद्रता $\frac{1}{2}$ है और नाभिलंब की लंबाई $\frac{1}{2}$ है।
$(C)$ रेखाओं $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $x = 1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{4\sqrt{2}}(\pi - 2)$ है।
$(D)$ रेखाओं $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $x = 1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{16}(\pi - 2)$ है।