ધારો કે C_1 એ ત્રીજા ચરણમાં આવેલું 3 ત્રિજ્યા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) વર્તુળ $C_1$ ત્રીજા ચરણમાં છે,તેની ત્રિજ્યા $r_1 = 3$ છે અને તે બંને અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $A(-3, -3)$ છે.$C_1$ નું સમીકરણ $(x+3)^

Vedclass · Accepted Answer

$22$

Vedclass · Answer

(C) વર્તુળ $C_1$ ત્રીજા ચરણમાં છે,તેની ત્રિજ્યા $r_1 = 3$ છે અને તે બંને અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $A(-3, -3)$ છે.$C_1$ નું સમીકરણ $(x+3)^2 + (y+3)^2 = 3^2$ છે.$C_2$ નું કેન્દ્ર $B(1, 3)$ છે. ધારો કે $C_2$ ની ત્રિજ્યા $r_2$ છે.કેન્દ્રો $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $AB = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ છે.વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,$AB = r_1 + r_2$. તેથી,$2\sqrt{13} = 3 + r_2$,જે આપણને $r_2 = 2\sqrt{13} - 3$ આપે છે.સ્પર્શબિંદુ $P(\alpha, \beta)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $r_1 : r_2 = 3 : (2\sqrt{13} - 3)$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:$\alpha = \frac{r_1 x_B + r_2 x_A}{r_1 + r_2} = \frac{3(1) + (2\sqrt{13} - 3)(-3)}{2\sqrt{13}} = \frac{3 - 6\sqrt{13} + 9}{2\sqrt{13}} = \frac{12 - 6\sqrt{13}}{2\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}} - 3$.$\beta = \frac{r_1 y_B + r_2 y_A}{r_1 + r_2} = \frac{3(3) + (2\sqrt{13} - 3)(-3)}{2\sqrt{13}} = \frac{9 - 6\sqrt{13} + 9}{2\sqrt{13}} = \frac{18 - 6\sqrt{13}}{2\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}} - 3$.હવે,$\beta - \alpha = (\frac{9}{\sqrt{13}} - 3) - (\frac{6}{\sqrt{13}} - 3) = \frac{3}{\sqrt{13}}$.તેથી,$(\beta - \alpha)^2 = (\frac{3}{\sqrt{13}})^2 = \frac{9}{13}$.અહીં,$m = 9$ અને $n = 13$ છે. $\operatorname{gcd}(9, 13) = 1$ હોવાથી,$m + n = 9 + 13 = 22$.

Similar Questions

વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$ એ...

જો $A(-2, 1)$,$B(0, -2)$,અને $C(1, 2)$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ હોય,તો તેના પરિકેન્દ્રથી બાજુ $BC$ નું લંબ અંતર શોધો.

બિંદુ $P(10, 7)$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ ની બહાર આવેલું છે. વર્તુળથી $P$ નું મહત્તમ અંતર કેટલું છે?

જેની ત્રિજ્યા $3$ છે અને જે વર્તુળ $x^2+y^2-4x-6y-12=0$ ને બિંદુ $(-1,-1)$ આગળ આંતરિક રીતે સ્પર્શે છે તે વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module