मान लीजिए f(x) एक धनात्मक फलन है,I_1 = int_{- | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $I_1 = \int_{-\frac{1}{2}}^1 2x f(2x(1-2x)) dx$. मान लीजिए $2x = t$,तो $2dx = dt$,अर्थात $dx = \frac{1}{2} dt$. जब $x = -\frac{1}{2}$,

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$4$

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(D) दिया गया है $I_1 = \int_{-\frac{1}{2}}^1 2x f(2x(1-2x)) dx$. मान लीजिए $2x = t$,तो $2dx = dt$,अर्थात $dx = \frac{1}{2} dt$. जब $x = -\frac{1}{2}$,तब $t = -1$. जब $x = 1$,तब $t = 2$. इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$I_1 = \int_{-1}^2 t f(t(1-t)) \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_{-1}^2 t f(t(1-t)) dt$. अतः,$2I_1 = \int_{-1}^2 t f(t(1-t)) dt$. गुणधर्म $\int_a^b g(t) dt = \int_a^b g(a+b-t) dt$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $2I_1 = \int_{-1}^2 (1-t) f((1-t)(1-(1-t))) dt = \int_{-1}^2 (1-t) f((1-t)t) dt$. इसका विस्तार करने पर,$2I_1 = \int_{-1}^2 f(t(1-t)) dt - \int_{-1}^2 t f(t(1-t)) dt$. $I_2 = \int_{-1}^2 f(t(1-t)) dt$ और $2I_1 = \int_{-1}^2 t f(t(1-t)) dt$ रखने पर,हमें मिलता है $2I_1 = I_2 - 2I_1$. अतः,$4I_1 = I_2$,जिसका अर्थ है कि $\frac{I_2}{I_1} = 4$.

मान लीजिए $f(x)$ एक धनात्मक फलन है,$I_1 = \int_{-\frac{1}{2}}^1 2x f(2x(1-2x)) dx$,और $I_2 = \int_{-1}^2 f(x(1-x)) dx$ है। तो $\frac{I_2}{I_1}$ का मान क्या होगा?

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यदि $I = \int_0^{\pi /4} \sin^2 x \, dx$ और $J = \int_0^{\pi /4} \cos^2 x \, dx$ है,तो $I = $

$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^4 x}{\sin^4 x + \cos^4 x} \, dx = $

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