मान लीजिए N सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय | vedclass

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Question

(A) $f: N \rightarrow Z$ के लिए,$f(1)=1, f(2)=1, f(3)=2, f(4)=0, f(5)=3, f(6)=-1, \dots$ है। चूंकि $f(1)=f(2)=1$,इसलिए $f$ एकैकी (one-one) नहीं है। चू

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$A, D$

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(A) $f: N \rightarrow Z$ के लिए,$f(1)=1, f(2)=1, f(3)=2, f(4)=0, f(5)=3, f(6)=-1, \dots$ है। चूंकि $f(1)=f(2)=1$,इसलिए $f$ एकैकी (one-one) नहीं है। चूंकि $f$ का परिसर $Z$ है,इसलिए $f$ आच्छादक (onto) है। अतः,कथन $(D)$ सत्य है।$g: Z \rightarrow N$ के लिए,$g(0)=3, g(1)=5, g(-1)=2, g(-2)=4, g(-3)=6$ है। चूंकि $g$ का परिसर ${2, 3, 4, 5, 6, 7, \dots}$ है,जो $N$ का एक उपसमुच्चय है ($1$ छूट जाता है),इसलिए $g$ अंतःक्षेपी (into) है। अतः,कथन $(C)$ असत्य है।$g \circ f: N \rightarrow N$ के लिए,$(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(1) = 5$ और $(g \circ f)(2) = g(f(2)) = g(1) = 5$ है। चूंकि $(g \circ f)(1) = (g \circ f)(2)$,इसलिए $g \circ f$ एकैकी नहीं है। $g \circ f$ का परिसर $N$ को पूरी तरह से कवर नहीं करता है,इसलिए यह आच्छादक नहीं है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।$f \circ g: Z \rightarrow Z$ के लिए,यदि $n \geq 0$,तो $f(g(n)) = f(3+2n) = (3+2n+1)/2 = n+2$ है। यदि $n इसलिए,कथन $(A)$ और $(D)$ सत्य हैं।

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यदि $f(x) = \begin{cases} \sin x, & x \neq n\pi, n \in \mathbb{Z} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$ और $g(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \neq 0, 2 \\ 4, & x = 0 \\ 5, & x = 2 \end{cases}$ है,तो $\lim_{x \to 0} g(f(x)) = $

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